Mori-Zwanzig formalism

Mori -Zwanzig-formalismen , uppkallad efter fysikerna Hajime Mori och Robert Zwanzig , är en metod för statistisk fysik . Det tillåter uppdelning av dynamiken i ett system i en relevant och en irrelevant del med hjälp av projektionsoperatorer, vilket hjälper till att hitta slutna rörelseekvationer för den relevanta delen. Det används t.ex. inom vätskemekanik eller kondenserad materiens fysik .

Aning

Makroskopiska system med ett stort antal mikroskopiska frihetsgrader beskrivs ofta väl av ett litet antal relevanta variabler, till exempel magnetiseringen i ett spinnsystem. Mori-Zwanzig-formalismen gör det möjligt att hitta makroskopiska ekvationer som endast beror på relevanta variabler baserade på mikroskopiska rörelseekvationer för ett system, som vanligtvis bestäms av Hamiltonian . Den irrelevanta delen visas i ekvationerna som brus. Formalismen avgör inte vilka de relevanta variablerna är, dessa kan typiskt erhållas från systemets egenskaper.

De observerbara objekten som beskriver systemet bildar ett Hilbert-rum . Projektionsoperatören projicerar sedan dynamiken på delrummet som spänns av de relevanta variablerna. Den irrelevanta delen av dynamiken beror då på de observerbara som är ortogonala mot de relevanta variablerna. En korrelationsfunktion används som en skalär produkt , varför formalismen också kan användas för att analysera dynamiken i korrelationsfunktioner.

Härledning

En inte explicit tidsberoende observerbar $A$ lyder Heisenbergs rörelseekvation

${\frac {d}{dt}}A=iLA,$

där Liouville-operatorn $L$ definieras med kommutatorn $L={\frac {1}{\hbar }}[H,\cdot ]$ i kvantumet fallet och med hjälp av Poisson-parentesen $L=-i\{H,\cdot \}$ i det klassiska fallet. Vi antar här att Hamiltonian inte har explicit tidsberoende. Härledningen kan också generaliseras mot tidsberoende Hamiltonianer. Denna ekvation löses formellt av

$A(t)=e^{iLt}A.$

Projektionsoperatorn som verkar på ett observerbart $X$ definieras som

$PX=(A,A)^{-1}(X,A)A,$

där $A$ är den relevanta variabeln (som också kan vara en vektor av olika observerbara objekt), och $(\;,\;)$ är någon skalär produkt av operatorer. Mori-produkten, en generalisering av den vanliga korrelationsfunktionen, används vanligtvis för denna skalära produkt. För observerbara $X,Y$ definieras det som

$(X,Y)={\frac {1}{\beta }}\int _ {0}^{\beta }d\alpha {\text{Tr}}({\bar {\rho }}Xe^{-\alpha H}Ye^{\alpha H}),$

där $\beta =(k_{B}T)^{-1}$ är den inversa temperaturen, Tr är kurvan (motsvarande en integral över fasutrymme i det klassiska fallet ) och $H$ är Hamiltonian. ${\bar {\rho }}$ är den relevanta sannolikhetsoperatorn (eller densitetsoperatorn för kvantsystem). Den är vald på ett sådant sätt att den endast kan skrivas som en funktion av de relevanta variablerna, men är en bra approximation för den faktiska densiteten, särskilt så att den ger korrekta medelvärden.

Nu tillämpar vi operatörsidentiteten

$e^{iLt}=e^{ i(1-P)Lt}+\int _{0}^{t}dse^{iL(ts)}PLe^{i(1-P)Ls}$

till

$(1-P)iLA.$

Med hjälp av projektionsoperatorn som introducerades ovan och definitionerna

$\Omega =(iLA,A)(A,A)^{-1}$

(frekvensmatris),

$F(t)=e^{t(1-P)L}(1-P)iLA$

(slumpmässig kraft) och

$K(t)=(iLF(t),A)(A,A)^{-1}$

(minnesfunktion), resultatet kan skrivas som

${\dot {A}}(t)=\Omega A(t)+\int _{0}^{t}dsK(s)A(ts)+F(t).$

Detta är en rörelseekvation för den observerbara $A(t)$ , som beror på dess värde vid den aktuella tiden ${\displaystyle t} ,$ värdet vid tidigare tidpunkter (minnesterm) och den slumpmässiga kraft (brus, beror på den del av dynamiken som är ortogonal mot ${\displaystyle A(t)} )$ .

Markovisk uppskattning

Ekvationen som härleds ovan är vanligtvis svår att lösa på grund av faltningstermen. Eftersom vi vanligtvis är intresserade av långsamma makroskopiska variabler som ändrar tidsskalor mycket större än det mikroskopiska bruset, har detta effekten av att integreras över en oändlig tidsgräns samtidigt som man bortser från fördröjningen i faltningen. Vi ser detta genom att expandera ekvationen till andra ordningen i ${\displaystyle iLA(t)} ,$ för att erhålla

${\dot {A}}(t)\approx \Omega A(t) +\int _{0}^{\infty }dsK(s)A(s)+F(t)$ ,

var

$K(t)=-(e^{iLt }(1-P)iLA,(1-P)iLA)(A,A)^{-1}$ .

Generaliseringar

För större avvikelser från termodynamisk jämvikt används den mer allmänna formen av Mori–Zwanzig-formalismen, från vilken de tidigare resultaten kan erhållas genom en linearisering. I det här fallet har Hamiltonian explicit tidsberoende. I detta fall transportekvationen för en variabel

$A(t)=a(t)-\delta A(t)$ ,

där $a(t)$ är medelvärdet och $\delta A(t)$ är fluktuationen, skrivs som (använd indexnotation med summering över upprepade index)

${\dot {A}}_{i}(t)=v_{i}(t)+\Omega _{ij}(t)\delta A_{j} (t)+\int _{0}^{t}dsK_{i}(t,s)+\phi _{ij}(t,s)\delta A_{j}(t)+F_{i}( t,0)$ ,

var

$v_{i}(t)={\text{Tr}}({\bar {\rho }}(t)A_{i} )$ ,

$\Omega _{ij}(t)={\text{Tr}}({ \frac {\partial {\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{j}(t)}}{\dot {A}}_{i})$ ,

$K_{i}(t,s)={\text{Tr}}( {\bar {\rho }}(s)iL(1-P(s))G(s,t){\dot {A}}_{i}),$

och

$\phi _{ij}(t,s)={\text{ Tr}}({\frac {\partial {\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{j}(t)}}iL(1-P(s))G(s,t){ \dot {A}}_{i})-{\dot {a}}_{k}(t){\text{Tr}}({\frac {\partial ^{2}{\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{k}(t)\partial a_{j}(t)}}G(s,t){\dot {A}}_{i})$ .

Vi har använt den tidsordnade exponentialen

$G(s,t)=T_{-}\exp(\int _{s }^{t}duiL(1-P(u)))$

och den tidsberoende projektionsoperatören

$P(t)X={\text{Tr}}({\bar {\rho }}(t)X)+(A_{i}-a_{i}(t)){\text{Tr }}({\frac {\partial {\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{i}(t)}}X).$

Dessa ekvationer kan också skrivas om med hjälp av en generalisering av Mori-produkten. Ytterligare generaliseringar kan användas för att tillämpa formalismen på tidsberoende Hamiltonianer och godtyckliga dynamiska system

Se även

• Nakajima–Zwanzigs ekvation
• Zwanzig projektionsoperatör

Anteckningar

• Hermann Grabert Projektionsoperatörstekniker i statistisk mekanik utan jämvikt , Springer Tracts in Modern Physics, Band 95, 1982
• Robert Zwanzig Nonequilibrium Statistical Mechanics 3rd ed. , Oxford University Press, New York, 2001