Nagaos teorem

I matematik är Nagaos sats , uppkallad efter Hirosi Nagao, ett resultat om strukturen av gruppen av 2-by-2 inverterbara matriser över ringen av polynom över ett fält . Den har utökats av Serre för att ge en beskrivning av strukturen för motsvarande matrisgrupp över koordinatringen av en projektiv kurva .

Nagaos teorem

För en allmän ring R låter vi GL ₂ ( R ) beteckna gruppen av inverterbara 2-av-2-matriser med poster i R , och låter R ^* beteckna gruppen av enheter för R , och låter

$B(R)=\left\lbrace {\left({\begin{array}{*{20}c}a&b\\0&d\end{array}}\right):a,d\in R^ {*},~b\in R}\right\rbrace .$

Då är B ( R ) en undergrupp av GL2 ₍ R ) .

Nagaos sats säger att i det fall R är ringen K [ t ] av polynom i en variabel över ett fält K , är gruppen GL ₂ ( R ) den sammanslagna produkten av GL ₂ ( K ) och B ( K [ t ] ) över deras skärningspunkt B ( K ).

Serres förlängning

I denna inställning är C en jämn projektiv kurva C över ett fält K . För en sluten punkt P av C låt R vara motsvarande koordinatring för C med P borttagen. Det finns en graf över grupper ( G , T ) där T är ett träd _med högst en icke-terminal vertex, så att GL2 ₍ R ) är isomorft med den fundamentala gruppen π1 ( G , T ).

•   Mason, A. (2001). "Serres generalisering av Nagaos teorem: ett elementärt tillvägagångssätt" . Transaktioner från American Mathematical Society . 353 (2): 749–767. doi : 10.1090/S0002-9947-00-02707-0 . Zbl 0964.20027 .
•    Nagao, Hirosi (1959). "På GL(2, K [ x ])". J. Inst. Polytechn., Osaka City Univ., Ser. A . 10 : 117–121. MR 0114866 . Zbl 0092.02504 .
•   Serre, Jean-Pierre (2003). Träd . Springer. ISBN 3-540-44237-5 .