Musselmans teorem

I euklidisk geometri är Musselmans sats en egenskap hos vissa cirklar som definieras av en godtycklig triangel .

Låt $T$ vara en triangel och $A$ , $B$ och $C$ dess hörn . Låt $A^{*}$ , $B^{*}$ och $C^{*}$ vara hörnen på reflektionstriangeln $T ^{*}$ , erhålls genom att spegla varje vertex av $T$ över den motsatta sidan. Låt $O$ vara omkretsen av $T$ . Betrakta de tre cirklarna $S_{A}$ , $S_{B}$ och $S_{C}$ definierade av punkterna $A\ ,O\,A^{*}$ , $B\,O\,B^{*}$ och $C\,O\,C^{*}$ , respektive. Satsen säger att dessa tre Musselman-cirklar möts i en punkt $M$ , det vill säga det omvända med avseende på circumcenter av $T$ i det isogonala konjugatet eller det niopunktiga mitten av $T$ .

Den gemensamma punkten $M$ är punkt $X_{1157}$ i Clark Kimberlings lista över triangelcentrum .

Historia

Teoremet föreslogs som ett avancerat problem av John Rogers Musselman och René Goormaghtigh 1939, och ett bevis presenterades av dem 1941. En generalisering av detta resultat angavs och bevisades av Goormaghtigh.

Goormagighths generalisering

Generaliseringen av Musselmans teorem av Goormaghtigh nämner inte cirklarna explicit.

Som tidigare, låt $A$ , $B$ och $C$ vara hörnen på en triangel $T$ och $O$ dess omkretscentrum. Låt $H$ vara ortocentrum för ${\displaystyle T} ,$ det vill säga skärningspunkten mellan dess tre höjdlinjer . Låt $A'$ , $B'$ och $C'$ vara tre punkter på segmenten $OA}$ displaystyle $OB$ , och $OC}$$'/$ , så att . Betrakta de tre linjerna $L_{A}$ , $L_{B}$ och $L_{C}$ , vinkelräta mot ${\displaystyle OA$ , $OB$ och $OC$ genom punkterna $A'$ , $B'$ respektive $C'$ . Låt $P_{A}$ , $P_{B}$ och $P_{C}$ vara skärningspunkterna för dessa vinkelräta mot linjerna $BC$ , $CA$ respektive $AB$ .

Det hade observerats av Joseph Neuberg , 1884, att de tre punkterna $P_{A}$ , $P_{B}$ och $P_{C}$ ligger på en gemensam linje $R$ . Låt $N$ vara projektionen av circumcenter $O$ på linjen $R$ , och $N'$ punkten på $ON$ så att $ON'/ON=t$ . Goormaghtigh bevisade att $N'$ är inversen med avseende på omkretsen av $T$ av det isogonala konjugatet av punkten $Q$ på Euler-linjen $OH$ , så att $QH/QO=2t$ .