Mumford–Shah funktionell

Mumford –Shah-funktionen är en funktion som används för att fastställa ett optimalitetskriterium för att segmentera en bild i underregioner. En bild är modellerad som en styckvis-smidig funktion. Funktionen straffar avståndet mellan modellen och ingångsbilden, bristen på jämnhet hos modellen inom underregionerna och längden på gränserna för underregionerna. Genom att minimera det funktionella kan man beräkna den bästa bildsegmenteringen. Funktionen föreslogs av matematikerna David Mumford och Jayant Shah 1989.

Definition av Mumford-Shah-funktionen

Betrakta en bild I med en definitionsdomän D , kalla J bildens modell och kalla B de gränser som är förknippade med modellen: Mumford–Shah-funktionen E [ J , B ] definieras som

$E[J,B]=C\int _{D}(I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2 }\,\mathrm {d} {\vec {x}}+A\int _{D/B}{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\cdot {\vec {\ nabla }}J({\vec {x}})\,\mathrm {d} {\vec {x}}+B\int _{B}ds$

Optimering av den funktionella kan uppnås genom att approximera den med en annan funktion, som föreslagits av Ambrosio och Tortorelli.

Minimering av det funktionella

Ambrosio–Tortorelli-gränsen

Ambrosio och Tortorelli visade att Mumford–Shah funktionell E [ J , B ] kan erhållas som gränsen för en familj av energifunktioner E [ J , z ,ε ] där gränsen B ersätts med kontinuerlig funktion z vars storlek indikerar närvaron av en gräns. Deras analys visar att Mumford–Shah-funktionen har ett väldefinierat minimum. Det ger också en algoritm för att uppskatta minimum.

Funktionerna de definierar har följande form:

$E[J,z;\varepsilon ]=C\int (I({\vec {x}})-J({\ vec {x}}))^{2}\,\mathrm {d} {\vec {x}}+A\int z({\vec {x}})|{\vec {\nabla }}J( {\vec {x}})|^{2}\,\mathrm {d} {\vec {x}}+B\int \{\varepsilon |{\vec {\nabla }}z({\vec { x}})|^{2}+\varepsilon ^{-1}\phi ^{2}(z({\vec {x}}))\}\,\mathrm {d} {\vec {x} }$

där ε > 0 är en (liten) parameter och ϕ ( z ) är en potentiell funktion. Två typiska val för ϕ ( z ) är

• $\phi _{1}(z)=(1-z^{2})/2\quad z\in [-1,1].$ Detta val associerar kantuppsättningen B med uppsättningen av punkter z så att ϕ ₁ ( z ) ≈ 0
• $\phi _{2}(z)=z(1-z)\quad z\in [0,1].$ Detta val associerar kantmängden B med uppsättningen av punkter z så att ϕ ₂ ( z ) ≈ 1/4

Det icke-triviala steget i deras deduktion är beviset på att, när ${\displaystyle \epsilon \to 0} ,$ de två sista termerna av energifunktionen (dvs. den sista integraltermen av energifunktionalen) konvergerar till kantmängden integral ∫ _B d s .

Den energifunktionella E [ J , z ,ε] kan minimeras genom metoder för gradientnedstigning , vilket säkerställer konvergensen till ett lokalt minimum.

Ambrosio , Fusco och Hutchinson, etablerade ett resultat för att ge en optimal uppskattning av Hausdorff-dimensionen för den enstaka uppsättningen av minimerare av Mumford-Shah-energin.

Minimering genom att delas upp i endimensionella problem

Mumford-Shah-funktionen kan delas upp i kopplade endimensionella delproblem. Delproblemen löses exakt genom dynamisk programmering.

Se även

• Begränsad variation
• Caccioppoli set
• Digital bildbehandling
• Luigi Ambrosio

Anteckningar

•     Camillo, De Lellis ; Focardi, Matteo; of the singular set for minimizers of the Mumford–Shah energy", Advances in Calculus of Variations , 7 (4): 539–545, arXiv : 1403.3388 , doi 10.1515/acv-2013-0107 , ISSN 1864-8258 , S2CID 2040612 , Zbl 1304.49091
•    Ambrosio, Luigi ; Fusco, Nicola ; Hutchinson, John E. (2003), "Högre integrerbarhet av gradienten och dimensionen av singularuppsättningen för minimerare av Mumford-Shah-funktionerna", Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 16 ( 2): 187–215, doi : 10.1007/s005260100148 , S2CID 55078333 , Zbl 1047.49015
•    Ambrosio, Luigi ; Tortorelli, Vincenzo Maria (1990) , "Approximation of functionals beroende av hopp av elliptiska funktionaler via Γ-konvergens", Communications on Pure and Applied Mathematics , 43 ( 8): 999–1036, doi : 10.1002 / cpa.30504,730 , Zbl 0722.49020
•    Ambrosio, Luigi ; Fusco, Nicola ; Pallara, Diego (2000). Funktioner av begränsad variation och problem med fri diskontinuitet . Oxford matematiska monografier. New York: The Clarendon Press, Oxford University Press . s. 434 . ISBN 9780198502456 . Zbl 0957.49001 .
•    Mumford, David ; Shah, Jayant (1989), "Optimal Approximations by Piecewise Smooth Functions and Associated Variational Problems" (PDF) , Communications on Pure and Applied Mathematics , XLII ( 5): 577–685, doi : 10.1002/cpa.50609 , 50309, 50309, 50309 , 50609 , 8 Zbl 0691.49036

•   Hohm, Kilian; Storath, Martin; Weinmann, Andreas (2015), "An algorithmic framework for Mumford–Shah regularization of inverse problems in imaging" (PDF) , Inverse Problems , 31 (11): 115011, Bibcode : 2015InvPr..31k5011H , doi : 8/6011600/501160 /31/11/115011 , S2CID 15365352