Monotonicitet i röstförhållande

Vote-ratio monotonicity (VRM) är en egenskap hos fördelningsmetoder , som är metoder för att fördela platser i ett parlament mellan politiska partier . Fastigheten säger att, om förhållandet mellan antalet röster som parti A vinner och antalet röster som parti B vinner ökar, så ska det INTE hända att parti A tappar ett mandat medan parti B vinner ett mandat.

Fastigheten presenterades först i samband med fördelningen av platser i ett parlament mellan federala stater . I det här sammanhanget kallas det populationsmonotonicitet eller populationsparmonotonicitet. Egenskapen säger att om befolkningen i delstat A ökar snabbare än delstat B, bör delstat A inte förlora en plats medan delstat B vinner en plats. En fördelningsmetod som misslyckas med att tillfredsställa denna egenskap sägs ha en befolkningsparadox . Notera att termen "befolkningsmonotonicitet" är vanligare för att beteckna en helt annan egenskap hos resursallokeringsregler; se befolkningens monotoni . Därför föredrar vi att här använda termen "vote-ratio monotonicity", vilket är entydigt.

Definitioner

Det finns en resurs att allokera, betecknad med $h$ . Det kan till exempel vara ett heltal som representerar antalet platser i ett representanthus . Resursen bör allokeras mellan några $n$ agenter , såsom stater eller partier . Agenterna har olika rättigheter , betecknade med en vektor $t_{1},\ldots ,t_{n}$ . Till exempel t _i vara andelen röster som parti i vinner . En allokering är en vektor $a_{1},\ldots ,a_{n}$ med $\sum _{i=1}^ {n}a_{i}=h$ . En tilldelningsregel är en regel som, för varje $h$ och berättigandevektor $t_{1},\ldots ,t_{n}$ , returnerar en allokeringsvektor $a_{1},\ldots ,a_{n$ .

För att definiera röstförhållande monotoni, beteckna $M(\mathbf {t} ;h)=\mathbf {a}$ $M(\mathbf {t'} ;h)=\mathbf {a'}$ M . En tilldelningsregel M kallas röstkvot monoton om följande gäller:

Om ${\frac {t'_{i}}{t'_{j}}}>{\frac {t_{i}}{t_{j} }}$ , sedan antingen $a_{i}'\geq a_{i}$ eller $a_{j}'\leq a_{j}$ eller båda (observera att fördelningen av båda tillstånden kan minska, eller båda kan öka, men det är inte tillåtet att fördelningen av $i$ minskar och att fördelningen av ${\displaystyle j} samtidigt$ ökar).

Den ursprungliga definitionen av befolkningens monotoni av Balinski och Young har ett ytterligare villkor:

Om ${\frac {t'_{i}}{t'_{j}}}={\frac {t_{i}}{t_{j} }}$ , sedan antingen $a_{i}'\geq a_{i}$ , eller $a_{j}'\leq a_{j}$ , eller $a_{i}'+a_{j}'=a_{i}+a_{j}$ .

Befolkningsparadox

Några av de tidigare kongressens fördelningsmetoder, såsom Hamiltons , tillfredsställde inte VRM och kunde således uppvisa befolkningsparadoxen. Till exempel, efter folkräkningen 1900, Virginia en plats till Maine , även om Virginias befolkning växte snabbare. Se här för ett enkelt numeriskt exempel på denna paradox.

Relation till andra fastigheter

Balinski och Young bevisade följande teorem (observera att de kallar VRM-egenskapen "befolkningsmonotoni"):

Om $h\geq n\geq 2,n\neq 3$ , då är en partiell fördelningsmetod VRM om-och-bara-om det är en partiell delningsmetod .
En fördelningsmetod är VRM om-och-bara-om det är en delningsmetod .

Palomares, Pukelsheim och Ramirez bevisar följande teorem:

Varje fördelningsregel som är anonym , balanserad , överensstämmande, anständig och sammanhängande är monoton i röstförhållandet.

Monotonicitet med röstförhållande innebär att om befolkningen flyttar från tillstånd $i$ till tillstånd $j$ medan populationerna i andra stater inte förändras, då både $a_{i }'\geq a_{i}$ och $a_{j}'\leq a_{j}$ måste hålla.

Se även

^ ^a ^b Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (red.), "Securing System Consistency: Coherence and Paradoxes" , Proportionell representation: Fördelningsmetoder och deras tillämpningar , Cham: Springer International Publishing, s. 159–183, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4 , hämtad 2021-09-02
^ ^a ^b ^c ^d Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Rättvis representation: Att möta idealet för en man, en röst . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9 .
^ ^a ^b Smith, Warren D. (januari 2007). "Fördelnings- och avrundningsscheman" . RangeVoting.org .
^ Palomares, Antonio; Pukelsheim, Friedrich; Ramírez, Victoriano (2016-09-01). "Helheten och dess delar: Om Balinskis och Youngs koherenssats" . Matematisk samhällsvetenskap . 83 : 11–19. doi : 10.1016/j.mathsocsci.2016.06.001 . ISSN 0165-4896 .
^ Stein, James D. (2008). How Math Explains the World: A Guide to the Power of Numbers, from Car Repair to Modern Physics . New York: Smithsonian Books. ISBN 9780061241765 .

[:1-1] Pukelsheim, Friedrich (2017), Pukelsheim, Friedrich (red.), "Securing System Consistency: Coherence and Paradoxes" , Proportionell representation: Fördelningsmetoder och deras tillämpningar , Cham: Springer International Publishing, s. 159–183, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4 , hämtad 2021-09-02

[:02-2] Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). Rättvis representation: Att möta idealet för en man, en röst . New Haven: Yale University Press. ISBN 0-300-02724-9 .

[Smith23-3] Smith, Warren D. (januari 2007). "Fördelnings- och avrundningsscheman" . RangeVoting.org .

[:12-4] Palomares, Antonio; Pukelsheim, Friedrich; Ramírez, Victoriano (2016-09-01). "Helheten och dess delar: Om Balinskis och Youngs koherenssats" . Matematisk samhällsvetenskap . 83 : 11–19. doi : 10.1016/j.mathsocsci.2016.06.001 . ISSN 0165-4896 .

[Stein2008-5] Stein, James D. (2008). How Math Explains the World: A Guide to the Power of Numbers, from Car Repair to Modern Physics . New York: Smithsonian Books. ISBN 9780061241765 .