Moliens formel

I matematik beräknar Moliens formel den genererande funktionen kopplad till en linjär representation av en grupp G på ett ändligt dimensionellt vektorrum, som räknar de homogena polynomen av en given totalgrad som är invarianter för G . Den är uppkallad efter Theodor Molien .

Precis, det står: givet en ändlig dimensionell komplex representation V av G och $R_{n}=\mathbb {C} [V]_{ n}=\operatornamn {Sym} ^{n}(V^{*})$ , utrymmet för homogena polynomfunktioner på V av grad n (grad-1 homogena polynom är exakt linjära funktional), om G är en finit grupp , kan serien (kallas Molien-serien ) beräknas som:

$\sum _{n=0}^{\infty }\dim(R_{n}^{G})t^{n}=(\#G)^{-1}\sum _{g\ i G}\det(1-tg|V^{*})^{-1}.$

Här är $R_{n}^{G}$ delrummet av $R_{n}$ som består av alla vektorer fixerade av alla element i G ; dvs invarianta former av grad n . Dimensionen av den är alltså antalet invarianter av grad n . Om G är en kompakt grupp, gäller den liknande formeln i termer av Haar-mått.

Härledning

Låt $\chi _{1},\dots ,\chi _{r}$ beteckna de irreducerbara tecknen i en finit grupp G och V , R enligt ovan. Då kan tecknet $\chi _{R_{n}}$ i $R_{n}$ skrivas som:

$\chi _{R_{n}}=\sum _{i=1}^{r}a_{i,n}\chi _{i}.$

ges varje ${\displaystyle a_{i,n}} av den inre produkten:$

$a_{i,n}=\langle \chi _{R_{n}},\chi _{i}\rangle =(\#G)^{-1}\summa _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\chi _{R_{n}}(g)=(\#G)^{-1}\summa _{g \in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\summa _{|\alpha |=n}\lambda (g)^{\alpha }$

där ${\textstyle \lambda (g)^{\alpha }=\prod _{i=1}^{m}\lambda _{i }(g)^{\alpha _{i}}}$ och $\lambda _{1}(g),\dots ,\lambda _{m} (g)$ är de möjligen upprepade egenvärdena för $g:V^{*}\to V^{*}$ . Nu beräknar vi serien:

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{i,n}t^{n}&=(\#G)^{-1}\sum _{g \in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\summa _{\alpha }(\lambda _{1}(g)t)^{\alpha _{1}}\cdots ( \lambda _{m}(g)t)^{\alpha _{m}}\\&=(\#G)^{-1}\summa _{g\in G}{\overline {\chi _ {i}}}(g)(1-\lambda _{1}(g)t)^{-1}\cdots (1-\lambda _{m}(g)t)^{-1}\\ &=(\#G)^{-1}\summa _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\det(1-tg|V^{*})^ {-1}.\end{aligned}}$

Att ta $\chi _{i}$ för att vara det triviala tecknet ger Moliens formel.

Exempel

Betrakta den symmetriska gruppen $S_{3}$ som verkar på R ³ genom att permutera koordinaterna. Vi summerar summan efter gruppelement enligt följande. Börjar med identiteten, vi har

$\det {\begin{pmatrix}1-t&0&0\\0&1-t&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}}= (1-t)^{3}$ .

Det finns en konjugationsklass med tre element av ${\displaystyle S_{3}} ,$ som består av byten av två koordinater. Detta ger tre termer av formen

$\det {\begin{pmatrix}1&-t&0\\-t&1&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}}=(1-t)(1-t^{2}).$

Det finns en tvåelementskonjugationsklass av cykliska permutationer, vilket ger två termer av formen

$\det {\begin{pmatrix}1&-t&0\\0&1&-t\\-t&0&1\end{pmatrix}}=\left(1-t^{3}\right).$

Lägg märke till att olika element i samma konjugationsklass ger samma determinant. Således är Molien-serien

$M(t)={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{(1-t)^{3}}}+{\frac {3}{(1- t)(1-t^{2})}}+{\frac {2}{1-t^{3}}}\right)={\frac {1}{(1-t)(1-t ^{2})(1-t^{3})}}.$

Å andra sidan kan vi utöka den geometriska serien och multiplicera ut för att få

$\displaystyle M(t)=(1+t+t^{2}+t^{ 3}+\cdots )(1+t^{2}+t^{4}+\cdots )(1+t^{3}+t^{6}+\cdots )=1+t+2t^{ 2}+3t^{3}+4t^{4}+5t^{5}+6t^{6}+7t^{7}+9t^{8}+11t^{9}+\cdots }$

Seriens koefficienter berättar för oss antalet linjärt oberoende homogena polynom i tre variabler som är invarianta under permutationer av de tre variablerna, dvs antalet oberoende symmetriska polynom i tre variabler. Faktum är att om vi betraktar de elementära symmetriska polynomen

$\sigma _{1}=x+y+z$

$\sigma _{2}=xy+xz+yz$

$\sigma _{3}=xyz$

vi kan till exempel se att det i grad 5 finns en bas som består av ${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{2}} ,$ σ $\displaystyle \sigma _{3} \sigma _{1}^{2}}$ , $\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}$ , $\sigma _{ 1}^{3}\sigma _{2}$ och $\sigma _{1}^{5}$ .

(Om du multiplicerar serien för hand kan du faktiskt se att termen $t^{k}$ kommer från kombinationer av $t$ , $t^{2 }$ och $t^{3}$ exakt motsvarande kombinationer av $\sigma _{1}$ , $\sigma _{2}$ och ${ \displaystyle \sigma _{3}}$ , även motsvarande partitioner av $k$ med $1$ , $2$ och $3$ som delar. Se även Partition ( talteori) och representationsteori för den symmetriska gruppen .)

• David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea (2005), Using Algebraic Geometry , s. 295–8
•   Molien, Th. (1897). "Uber die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen" . Sitzungber. Konig. Preuss. Akad. Wiss. (J. Berl. Ber.) . 52 : 1152–1156. JFM 28.0115.01 .
•   Mukai, S. (2002). En introduktion till invarianter och moduler . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 81. ISBN 978-0-521-80906-1 .
• Richard P. Stanley, Invarianter av finita grupper och deras tillämpningar på kombinatorik, Bull. Amer. Matematik. Soc. (ny serie) 1 (1979), 475–511.

Vidare läsning

• https://mathoverflow.net/questions/58283/a-question-about-an-application-of-moliens-formula-to-find-the-generators-and-r