Minskning av order

Ordningsreduktion är en teknik inom matematiken för att lösa andra ordningens linjära vanliga differentialekvationer . Den används när en lösning $y_{1}(x)$ är känd och en andra linjärt oberoende lösning $y_{2}(x)$ önskas. Metoden gäller även för n -te ordningens ekvationer. I detta fall ansatzen att ge en ( n −1)-ekvation för $v$ .

Andra ordningens linjära vanliga differentialekvationer

Ett exempel

Betrakta den allmänna, homogena, andra ordningens linjära konstantkoefficientens vanliga differentialekvation. (ODE)

$ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0,$

där $a,b,c$ är reella koefficienter som inte är noll. Två linjärt oberoende lösningar för denna ODE kan enkelt hittas med hjälp av karakteristiska ekvationer förutom fallet då diskriminanten , ${\displaystyle b^{2}-4ac} ,$ försvinner. I detta fall,

$ay''(x)+by'(x)+{\frac {b^{2}} {4a}}y(x)=0,$

från vilken endast en lösning,

$y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x},$

kan hittas med hjälp av dess karakteristiska ekvation.

Metoden för reduktion av ordning används för att erhålla en andra linjärt oberoende lösning på denna differentialekvation med vår enda kända lösning. För att hitta en andra lösning tar vi som en gissning

$y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)$

där $v(x)$ är en okänd funktion som ska bestämmas. Eftersom $y_{2}(x)$ måste uppfylla den ursprungliga ODE, byter vi in ​​den igen för att få

$a\left( v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+{\frac { b^{2}}{4a}}vy_{1}=0.$

Om vi ​​ordnar om denna ekvation i termer av derivatorna av $v(x)$ får vi

$\left( ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+{\frac { b^{2}}{4a}}y_{1}\right)v=0.$

Eftersom vi vet att $y_{1}(x)$ är en lösning på det ursprungliga problemet, är koefficienten för den sista termen lika med noll. Dessutom ger en ersättning av $y_{1}(x)$ i den andra termens koefficient (för den koefficienten)

$2a\left(-{\frac { b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b \right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0.$

Därför är vi kvar med

$ay_{1}v''=0.$

Eftersom $a$ antas vara icke-noll och $y_{1}(x)$ är en exponentiell funktion (och därmed alltid icke-noll), har vi

$v''=0.$

Detta kan integreras två gånger för att ge

$v(x)=c_{1}x+c_{2}$

där $c_{1},c_{2}$ är integrationskonstanter. Vi kan nu skriva vår andra lösning som

$y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1 }(x).$

Eftersom den andra termen i $y_{2}(x)$ är en skalär multipel av den första lösningen (och därmed linjärt beroende) kan vi släppa den termen, vilket ger en slutlig lösning av

$y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}.$

Slutligen kan vi bevisa att den andra lösningen $y_{2}(x)$ som hittas via denna metod är linjärt oberoende av den första lösningen genom att beräkna Wronskian

$W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}' \end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1 }'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{a}}x}\neq 0.$

Således är $y_{2}(x)$ den andra linjärt oberoende lösningen vi letade efter.

Allmän metod

Givet den allmänna icke-homogena linjära differentialekvationen

$y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)$

och en enda lösning $y_{1}(t)$ av den homogena ekvationen [ $r(t)=0$ ], låt oss försöka en lösning av hela icke-homogen ekvation i formen:

$y_{2}=v(t)y_{1}(t)$

där $v(t)$ är en godtycklig funktion. Således

$y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t )y_{1}'(t)$

och

$y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t ).$

Om dessa ersätts med $y$ , $y'$ och $y''$ i differentialekvationen, då

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}'' (t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t).$

Eftersom $y_{1}(t)$ är en lösning av den ursprungliga homogena differentialekvationen, ${\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0} , så vi kan$ minska till

$y_{1}(t)\,v''+ (2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)$

som är en första ordningens differentialekvation för $v'(t)$ (reduktion av ordningen). Dividera med $y_{1}(t)$ , erhåll

$v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac { r(t)}{y_{1}(t)}}.$

Integreringsfaktorn är ${\$ ) .

Genom att multiplicera differentialekvationen med den integrerande faktorn $\mu (t)$ , kan ekvationen för $v(t)$ reduceras till

${\frac {d}{dt}}\left(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}\right)=y_{1 }(t)r(t)e^{\int p(t)dt}.$

Efter att ha integrerat den sista ekvationen hittas ${\displaystyle v'(t)},$ som innehåller en integrationskonstant. Integrera sedan $v'(t)$ för att hitta den fullständiga lösningen av den ursprungliga icke-homogena andra ordningens ekvation, som uppvisar två integrationskonstanter som den ska:

$y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t).$

Se även

• Variation av parametrar

•   WE Boyce och RC DiPrima, elementära differentialekvationer och problem med gränsvärden (8:e upplagan), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1 .
•   Teschl, Gerald (2012). Vanliga differentialekvationer och dynamiska system . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
• Eric W. Weisstein, andra ordningens vanliga differentialekvationer andra lösning , från MathWorld—en Wolfram webbresurs.