Minimal volym

Inom matematiken , särskilt inom differentialgeometri , är den minimala volymen ett tal som beskriver en aspekt av en jämn grenrörs topologi . Denna topologiska invariant introducerades av Mikhael Gromov .

Givet ett jämnt Riemann Kg _- grenrör ( M , g ) , kan man överväga dess volym vol( M , g ) och tvärsnittskrökning . Den minimala volymen för ett jämnt grenrör M definieras som

$\operatorname {MinVol} (M):=\inf\{\operatörsnamn {vol} (M,g):g{\text{ ett komplett riemannsk mått med }}|K_{g}|\leq 1\ }.$

Varje stängt grenrör kan ges en godtyckligt liten volym genom att skala valfritt val av Riemann-mått. Den minimala volymen tar bort möjligheten för sådan skalning genom begränsningen av sektionskrökning. Så, om den minimala volymen av M är noll, så kan en viss typ av icke-triviala kollapsningsfenomen uppvisas av riemannska mått på M . Ett trivialt exempel, det enda där möjligheten till skalning finns, är ett slutet platt grenrör . Berger -sfärerna visar att den minimala volymen för den tredimensionella sfären också är noll. Gromov har gissat att varje stängt enkelt anslutet grenrör med udda dimensioner har noll minimal volym.

Däremot uppgår en positiv nedre gräns för den minimala volymen av M till någon (vanligtvis icke-trivial) geometrisk olikhet för volymen av en godtycklig komplett Riemann-metrik på M när det gäller storleken på dess krökning. Enligt Gauss-Bonnet-satsen , om M är ett slutet och sammankopplat tvådimensionellt grenrör, då MinVol( M ) = 2π|χ( M )| . Infimum i definitionen av minimal volym realiseras av de mått som framgår av uniformiseringssatsen . Mer generellt, enligt Chern-Gauss-Bonnet-formeln , om M är ett slutet och anslutet grenrör då

$\operatorname {MinVol} (M)\geq c(n){\big |}\chi (M){\big |}.$

Gromov, 1982, visade att volymen av en komplett Riemann-metrik på ett jämnt grenrör alltid kan uppskattas av storleken på dess krökning och av grenrörets enkla volym , via ojämlikheten

$\operatorname {MinVol} (M)\geq {\frac {\|M\|}{(n-1)^{n}n!}}.$

•   Misha Gromov. Metriska strukturer för riemannska och icke-riemannska rum . Baserat på det franska originalet från 1981. Med bilagor av M. Katz, P. Pansu och S. Semmes. Översatt från franskan av Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999. xx+585 s. ISBN 0-8176-3898-9 . doi : 10.1007/978-0-8176-4583-0
• Michael Gromov. Volym och bunden kohomologi. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matematik. 56 (1982), 5-99.