Mehler kärna

Mehler -kärnan är en funktion med komplext värde som har visat sig vara propagatorn för den kvantharmoniska oscillatorn .

Mehlers formel

Mehler ( 1866 ) definierade en funktion

$E(x,y)={\ frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2 \rho xy}{(1-\rho ^{2})}}\right)~,$

och visade, i moderniserad notation, att den kan utökas i termer av hermitpolynom H (.) baserat på viktfunktionen exp(− x ²) som

$E(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}~{\mathit {H} }_{n}(x){\mathit {H}}_{n}(y)~.$

Detta resultat är användbart, i modifierad form, i kvantfysik, sannolikhetsteori och harmonisk analys.

Fysik version

Inom fysiken kallas den grundläggande lösningen , ( Gröns funktion ), eller propagatorn av Hamiltonian för den kvantharmoniska oscillatorn Mehler- kärnan . Det ger den grundläggande lösningen --- den mest allmänna lösningen φ ( x , t ) till

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-x^{2}\varphi \equiv D_{x}\varphi ~.$

De ortonormala egenfunktionerna för operatorn D är hermitfunktionerna ,

$\psi _{n}={\frac {H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}},$

med motsvarande egenvärden (2 n +1), vilket ger speciella lösningar

$\varphi _{n}(x,t)=e^{-(2n+1)t}~H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)~.$

Den allmänna lösningen är då en linjär kombination av dessa; när den anpassas till initialtillståndet φ ( x ,0) , minskar den allmänna lösningen till

$\varphi (x,t)=\int K(x,y;t)\varphi (y, 0)dy~,$

där kärnan K har den separerbara representationen

$K(x,y;t)\equiv \sum _{n\geq 0}{\frac {e^{-(2n+1)t}}{{\sqrt {\pi }}2^{ n}n!}}~H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)~.$

Att använda Mehlers formel ger då avkastning

${\sum _{n\geq 0}{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}H_{n}(x)H_{n}(y)\exp( -(x^{2}+y^{2})/2)={1 \över {\sqrt {(1-\rho ^{2})}}}\exp \left({4xy\rho -( 1+\rho ^{2})(x^{2}+y^{2}) \över 2(1-\rho ^{2})}\right)}~.$

När detta i uttrycket för K ersätts med värdet exp(−2 t ) för ρ läser Mehlers kärna slutligen

$K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sinh(2t)}}}~\exp \left(-\coth(2t)~(x^{ 2}+y^{2})/2+\operatörsnamn {csch} (2t)~xy\right).$

När t = 0 sammanfaller variablerna x och y , vilket resulterar i den begränsande formeln som krävs av initialvillkoret,

$K(x,y;0)=\delta (xy)~.$

Som en grundläggande lösning är kärnan additiv,

$\int dyK(x,y;t)K(y,z;t')=K(x,z;t+t')~.$

är vidare relaterat till den symplektiska rotationsstrukturen för kärnan K.

När man använder de vanliga fysikkonventionerna för att definiera den kvantharmoniska oscillatorn istället via

$i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {1} {2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}\right)\varphi \equiv H\varphi ,$

och om man antar naturlig längd och energiskalor , blir Mehler-kärnan Feynman-propagatorn $K_{H}$ som läser

$\langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K_{H}(x,y;t)={\frac {1 }{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left((x^{2}+y^{2})\ cos t-2xy\right)\right),\quad t<\pi ,$

dvs $K_{H}(x,y;t)=K(x,y;it/2).$

När ${\displaystyle t>\pi } ska$ i $displaystyle i\sin t}$$|\sin t|$ i den omvända kvadratroten ersättas med och $K_{H}$ ska multipliceras med en extra Maslov- fasfaktor

$\exp \left(i\theta _{\rm {Maslov}}\right)=\exp \left(-i{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {1} {2}}+\vänster\lgolv {\frac {t}{\pi }}\höger\rgolv \höger)\höger).$

När $t=\pi /2$ är den allmänna lösningen proportionell mot Fouriertransformen ${\mathcal {F}}$ av initialvillkoren $\varphi _{0}(y)\equiv \varphi (y,0)$ sedan

$\varphi (x,t=\pi /2)=\int K_{H}(x,y;\pi /2 )\varphi (y,0)dy={\frac {1}{\sqrt {2\pi i}}}\int \exp(-ixy)\varphi (y,0)dy=\exp(-i\ pi /4){\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,$

och den exakta Fouriertransformen erhålls således från kvantövertonsoscillatorns taloperator skriven som

$N\equiv {\frac {1 }{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=H-{ \frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2 }-1\höger)~$

sedan den resulterande kärnan

$\langle x\mid \exp(-itN)\mid y\rangle \equiv K_{N}(x,y;t)=\exp(it/ 2)K_{H}(x,y;t)=\exp(it/2)K(x,y;it/2)$

kompenserar även för fasfaktorn som fortfarande uppstår i $K_{H}$ och $K$ , dvs.

$\varphi (x,t=\ pi /2)=\int K_{N}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,$

som visar att taloperatorn kan tolkas via Mehler-kärnan som generatorn av bråkdelar av Fourier-transformationer för godtyckliga värden på t , och för den konventionella Fourier-transformen ${\mathcal {F}}$ för det specifika värdet $t=\pi /2$ , med Mehler-kärnan som tillhandahåller en aktiv transformation , medan motsvarande passiva transformation redan är inbäddad i basförändringen från position till momentumutrymme . Egenfunktionerna för $N$ är fortfarande Hermite-funktionerna $\psi _{n}(x)$ som därför också är egenfunktioner för ${\mathcal {F}}$ .

Sannolikhetsversion

Resultatet av Mehler kan också kopplas till sannolikhet. För detta bör variablerna skalas om till x → x / √ 2 , y → y / √ 2 , så att de ändras från 'fysikerns' hermitpolynom H (.) (med viktfunktion exp(− x ² )) till "probabilists" hermitpolynom He (.) (med viktfunktion exp(− x ² /2)). Då blir E

${\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{ 2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n} }{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.$

Den vänstra sidan här är p ( x , y )/ p ( x ) p ( y ) där p ( x , y ) är den bivariata Gaussiska sannolikhetstäthetsfunktionen för variabler x , y som har noll medelvärden och enhetsvarianser:

$p(x,y)={ \frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {(x^{2}+y^{2})-2 \rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)~,$

och p ( x ) , p ( y ) är motsvarande sannolikhetstätheter för x och y (båda standardnormal).

Där följer den vanligtvis citerade formen av resultatet (Kibble 1945)

$p(x,y)=p(x)p(y)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\ mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.$

Denna expansion härleds enklast genom att använda den tvådimensionella Fouriertransformen av p ( x , y ) , vilket är

$c(iu_{1},iu_{2})=\exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\rho u_{1}u_{2} )/2)~.$

Detta kan utökas som

$\exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})/2)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{ n}}{n!}}(u_{1}u_{2})^{n}~.$

Den omvända Fouriertransformen ger sedan omedelbart ovanstående expansionsformel.

Detta resultat kan utökas till det flerdimensionella fallet.

Fraktionell Fouriertransform

Huvudartikel: Fractional Fourier transform

Eftersom hermitfunktionerna ψ _n är ortonormala egenfunktioner till Fouriertransformen ,

${\mathcal {F}}[\psi _{n}](y)=(-i)^{n} \psi _{n}(y)~,$

i övertonsanalys och signalbehandling diagonaliserar de Fourier-operatorn,

${\mathcal {F}}[f](y)=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\ psi _{n}(y)~.$

Således kan den kontinuerliga generaliseringen för reell vinkel α lätt definieras ( Wiener , 1929; Condon , 1937), den fraktionerade Fouriertransformen (FrFT), med kärna

${\mathcal {F}}_{\alpha }=\sum _{n\geq 0}(-i)^{2\alpha n/\pi }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.$

Detta är en kontinuerlig familj av linjära transformer som generaliserar Fouriertransformen , så att den för α = π /2 reduceras till standard Fouriertransform, och för α = − π /2 till den inversa Fouriertransformen.

Mehlers formel, för ρ = exp(−i α ), ger alltså direkt

${\mathcal {F}}_{\alpha [f](y)={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{ i{\frac {\cot(\alpha )}{2}}y^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )~ yx-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x~.$

Kvadratroten definieras så att argumentet för resultatet ligger i intervallet [− π /2, π /2].

Om α är en heltalsmultipel av π , så divergerar ovanstående cotangens- och cosecantfunktioner . I limiten går kärnan till en Dirac delta-funktion i integranden, δ(x−y) eller δ(x+y) , för α en jämn eller udda multipel av π , respektive. Eftersom ${\mathcal {F}}^{2}$ [ f ] = f (− x ), måste ${\mathcal {F}}_{\alpha }$ [ f ] vara helt enkelt f ( x ) eller f (− x ) för α en jämn eller udda multipel av π .

Se även

• Oscillatorrepresentation § Harmonisk oscillator och Hermite funktioner
• Värm kärnan
• Hermitpolynom
• Parabolcylinderfunktioner
• Laguerre polynom § Hardy–Hille formel

•   Nicole Berline, Ezra Getzler och Michèle Vergne (2013). Heat Kernels and Dirac Operators , (Springer: Grundlehren Text Editions) Pocket ISBN 3540200622
• Louck, JD (1981). "Utvidgning av Kibble-Slepian-formeln för hermitpolynom med bosonoperatormetoder" . Framsteg inom tillämpad matematik . 2 (3): 239–249. doi : 10.1016/0196-8858(81)90005-1 .
• HM Srivastava och JP Singhal (1972). "Några förlängningar av Mehler-formeln", Proc. Amer. Matematik. Soc. 31 : 135–141. ( online )