Mehler-Heine formel

Inom matematik beskriver Mehler-Heine-formeln introducerad av Gustav Ferdinand Mehler och Eduard Heine det asymptotiska beteendet hos Legendre-polynomen då indexet tenderar till oändligheten, nära kanterna på viktens stöd. Det finns generaliseringar till andra klassiska ortogonala polynom , som också kallas Mehler-Heine-formeln. Formeln kompletterar Darboux-formlerna som beskriver asymptotikerna i det inre och utanför stödet.

Legendre polynom

Det enklaste fallet med Mehler-Heine-formeln säger det

$\lim _{n\to \infty }P_{n }\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }P_{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{ 2n^{2}}}\right)=J_{0}(z),$

där P _n är Legendre-polynomet av ordning n , och J ₀ Bessel -funktionen av ordning 0. Gränsen är enhetlig över z i en godtyckligt avgränsad domän i det komplexa planet .

Jacobi polynom

Generaliseringen till Jacobi polynom P
^{( α , β )} _n ges av Gábor Szegő enligt följande

$\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos {\frac { z}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(1-{\frac { z^{2}}{2n^{2}}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha}(z),$

där J _α är Bessel-funktionen av ordningen α .

Laguerre polynom

Med hjälp av generaliserade Laguerre polynom och konfluenta hypergeometriska funktioner kan de skrivas som

$\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {z^{2}}{4n}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^ {-\alpha }J_{\alpha }(z),$

där L
^{( α )} _n är Laguerre-funktionen.

Hermitpolynom

Genom att använda uttrycken som motsvarar hermitpolynom och Laguerrepolynom där två ekvationer finns, kan de skrivas som

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1 )^{n}}{4^{n}n!}}{\sqrt {n}}H_{2n}\left({\frac {z}{2{\sqrt {n}}}}\right) &=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\frac {1}{2}}J_{-{\frac {1}{2}}}(z)\\\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{4^{n}n!}}H_{2n+1}\left({\frac {z}{2{\ sqrt {n}}}}\right)&=(2z)^{\frac {1}{2}}J_{\frac {1}{2}}(z),\end{aligned}}$

där H _n är hermitfunktionen.