Med hjälp av Borsuk–Ulams teorem
Att använda Borsuk–Ulams teorem: föreläsningar om topologiska metoder i kombinatorik och geometri är en matematiklärobok på forskarnivå i topologisk kombinatorik . Den beskriver användningen av resultat i topologi , och i synnerhet Borsuk–Ulam-satsen , för att bevisa teorem i kombinatorik och diskret geometri . Den skrevs av den tjeckiske matematikern Jiří Matoušek och publicerades 2003 av Springer-Verlag i deras Universitext-serie ( ISBN 978-3-540-00362-5 ).
Ämnen
Ämnet för boken är en del av ett relativt nytt matematikfält som korsar topologi och kombinatorik, nu kallat topologisk kombinatorik . Utgångspunkten för fältet, och en av de centrala inspirationerna för boken, var ett bevis på att Lovász publicerade 1978 en gissning från 1955 av Martin Kneser , enligt vilken Kneser ritar har ingen graffärgning med färger. Lovász använde Borsuk–Ulam-satsen i sitt bevis, och Matoušek samlar in många relaterade resultat, publicerade senare, för att visa att denna koppling mellan topologi och kombinatorik inte bara är ett bevistrick utan ett område.
Boken har sex kapitel. Efter två kapitel som har granskat de grundläggande föreställningarna om algebraisk topologi och bevisat Borsuk–Ulam-satsen , börjar tillämpningarna på kombinatorik och geometri i det tredje kapitlet, med ämnen inklusive skinksmörgåssatsen, halsbandsdelningsproblemet , Gales lemma om punkter i halvklot och flera resultat på färgläggningar av Kneser-grafer . Efter ytterligare ett kapitel om mer avancerade ämnen inom ekvivariant topologi , följer ytterligare två kapitel med tillämpningar, separerade beroende på om ekvivariansen är modulo två eller använder en mer komplicerad grupphandling . Ämnen i dessa kapitel inkluderar van Kampen–Flores teorem om inbäddningsbarheten av skelett av enkla i euklidiska rum med lägre dimensioner , och topologiska och mångfärgade varianter av Radons sats och Tverbergs sats om uppdelningar i delmängder med korsande konvexa skrov.
Publik och mottagning
Boken är skriven på forskarnivå och har övningar som gör den lämplig som kursbok för forskarutbildning. Viss kunskap om topologi skulle vara till hjälp för läsarna men är inte nödvändig. Recensenten Mihaela Poplicher skriver att den inte är lättläst, men är "mycket välskriven, väldigt intressant och väldigt informativ". Och recensenten Imre Bárány skriver att "Boken är välskriven, och stilen är klar och trevlig, med massor av illustrativa exempel."
Matoušek avsåg att detta material skulle bli en del av en bredare lärobok om topologisk kombinatorik, som skulle skrivas tillsammans med honom, Anders Björner och Günter M. Ziegler . Detta slutfördes dock inte före Matoušeks alltför tidiga död 2015.