Ekvivariant topologi

I matematik är ekvivariant topologi studiet av topologiska utrymmen som har vissa symmetrier. När man studerar topologiska utrymmen tar man ofta hänsyn till kontinuerliga kartor ${\displaystyle f:X\to Y} ,$ och även om ekvivariant topologi också tar hänsyn till sådana kartor, finns det den ytterligare begränsningen att varje karta "respekterar symmetri" i båda dess domän och målutrymme .

Begreppet symmetri fångas vanligtvis genom att betrakta en gruppåtgärd av en grupp $G$ på $X$ och $Y$ och kräva att $f$ är ekvivariant under denna åtgärd, så att $f(g\cdot x)=g\cdot f(x)$ för alla $x\in X$ , en egenskap vanligtvis betecknad med $f:X\to _{G}Y$ . Heuristiskt sett ser standardtopologi två utrymmen som likvärdiga "upp till deformation", medan ekvivariant topologi betraktar utrymmen likvärdiga upp till deformation så länge som den uppmärksammar eventuell symmetri som båda utrymmena besitter. En berömd teorem för ekvivariant topologi är Borsuk–Ulam-satsen , som hävdar att varje $\mathbf {Z} _{2}$ -ekvivariant karta $f:S^{ n}\to \mathbb {R} ^{n}$ försvinner med nödvändighet.

Inducerade G -buntar

En viktig konstruktion som används i ekvivariant kohomologi och andra tillämpningar inkluderar en naturligt förekommande gruppbunt (se huvudpaketet för detaljer).

Låt oss först betrakta fallet där $G$ verkar fritt på $X$ . Sedan, givet en $G$ -ekvivariant karta $f:X\to _{G}Y$ , får vi sektioner $s_{f}:X/G\to (X\ gånger Y)/G$ ges av $[x]\mapsto [x,f( x)]$ , där $X\ gånger Y$ får den diagonala åtgärden $g(x,y)=(gx,gy)$ , och paketet är $p:(X\ gånger Y)/G\to X/G$ , med fiber $Y$ och projektion given av $p([x,y])=[x]$ . Ofta skrivs det totala utrymmet $X\ gånger _{G}Y$ .

Mer generellt, tilldelningen $s_{f}$ mappar faktiskt inte till $(X\ gånger Y)/G$ generellt. Eftersom $f$ är ekvivariant, om $g\in G_{x}$ (isotropiundergruppen), så har vi genom ekvivarians att ${\displaystyle g\cdot f(x)=f(g\cdot x)=f(x)} ,$ så i själva verket kommer $f$ att mappas till samlingen av $\{[x,y]\in (X\ gånger Y)/G\mid G_{x}\subset G_{y} \}$ . I det här fallet kan man ersätta bunten med en homotopikvot där $G$ verkar fritt och är bunthomotopisk till den inducerade bunten på $X$ med $f$ .

Applikationer för diskret geometri

På samma sätt som man kan härleda skinsandwich-satsen från Borsuk-Ulam-satsen, kan man hitta många tillämpningar av ekvivariant topologi på problem med diskret geometri . Detta åstadkoms genom att använda paradigmet för testkarta för konfigurationsutrymme:

Givet ett geometriskt problem $P$ , definierar vi konfigurationsutrymmet , X $\displaystyle X}$ , som parametriserar alla associerade lösningar på problemet (som punkter, linjer eller bågar.) Dessutom betraktar vi ett testutrymme . $Z\subset V$ och en karta $f:X\to V$ där $p\in X$ är en lösning på ett problem om och bara om $f(p)\in Z$ . Slutligen är det vanligt att beakta naturliga symmetrier i ett diskret problem av någon grupp $G$ som verkar på $X$ och $V$ så att $f$ är ekvivariant under dessa handlingar. Problemet är löst om vi kan visa att det inte finns en ekvivariant karta $f:X\to V\setminus Z$ .

Hinder för förekomsten av sådana kartor formuleras ofta algebraiskt från topologiska data för $X$ och $V\setminus Z$ . Ett arketypiskt exempel på ett sådant hinder kan härledas med $V$ ett vektorrum och $Z=\{0\}$ . I det här fallet skulle en icke-försvinnande karta också inducera en icke-försvinnande sektion $s_{f}:x\mapsto [x,f(x)]$ från diskussionen ovan , så $\omega _{n}(X\ gånger _{G}Y)$ , den översta Stiefel–Whitney-klassen skulle behöva försvinna.

Exempel

Identitetskartan $i:X\to X$ kommer alltid att vara ekvivariant.
Om vi låter $\mathbf {Z} _{2}$ verka antipodalt på enhetscirkeln, så är $z\mapsto z^{3}$ ekvivariant, eftersom det är en udda funktion .
Varje karta $h:X\to X/G$ är ekvivariant när $G$ verkar trivialt på kvoten, eftersom ${\ displaystyle h(g\cdot x)=h(x)}$ för alla $x$ .

Se även