Tverbergs sats
Inom diskret geometri är Tverbergs sats , som först formulerades av Helge Tverberg ( 1966 ), resultatet att tillräckligt många punkter i det d -dimensionella euklidiska rymden kan delas upp i delmängder med korsande konvexa skrov . Specifikt för alla uppsättningar
punkter finns det en punkt x (inte nödvändigtvis en av de givna punkterna) och en uppdelning av de givna punkterna i r delmängder, så att x tillhör det konvexa skrovet av alla delmängder. Partitionen som härrör från denna sats är känd som en Tverberg-partition .
Exempel
För r = 2 anger Tverbergs sats att alla d + 2 punkter kan delas upp i två delmängder med korsande konvexa skrov; detta specialfall är känt som Radons teorem . I det här fallet, för punkter i allmän position, finns det en unik partition.
Fallet r = 3 och d = 2 anger att vilka sju punkter som helst i planet kan delas upp i tre delmängder med korsande konvexa skrov. Illustrationen visar ett exempel där de sju punkterna är hörnen på en vanlig sjuhörn . Som exemplet visar kan det finnas många olika Tverberg-partitioner av samma uppsättning punkter; dessa sju punkter kan delas upp på sju olika sätt som skiljer sig åt genom rotationer av varandra.
Se även
- Tverberg, H. (1966), "A generalization of Radon's theorem" (PDF) , Journal of the London Mathematical Society , 41 : 123–128, doi : 10.1112/jlms/s1-41.1.123 .
- Hell, S. (2006), Tverberg-typ teorem and the Fractional Helly property , Dissertation, TU Berlin, doi : 10.14279/depositonce-1464 .