Matrisdeterminant lemma

I matematik , i synnerhet linjär algebra , beräknar matrisdeterminantlemma determinanten av summan av en inverterbar matris A och den ^dyadiska produkten ,   u v ^T , av en kolumnvektor u och en radvektor vT .

Påstående

Antag att A är en inverterbar kvadratisk matris och u , v är kolumnvektorer . Sedan anger matrisdeterminantlemma det

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\ mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\,\det \left(\mathbf {A} \right)\,.$

Här är uv ^{T den} yttre produkten av två vektorer u och v .

Satsen kan också anges i termer av adjugatmatrisen för A :

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T} }\right)=\det \left(\mathbf {A} \right)+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} \left(\mathbf {A} \right)\mathbf {u} \,,$

i vilket fall gäller oavsett om kvadratmatrisen A är inverterbar eller inte.

Bevis

Först följer beviset för specialfallet A = I av likheten:

${\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\ mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\ textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u } \end{pmatrix}}.$

Determinanten för vänster sida är produkten av determinanterna för de tre matriserna. Eftersom den första och tredje matrisen är triangulära matriser med enhetsdiagonal, är deras determinanter bara 1. Determinanten för den mellersta matrisen är vårt önskade värde. Determinanten för den högra sidan är helt enkelt (1 + v ^Tu ) . Så vi har resultatet:

$\det \left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\ mathbf {u} \right).$

Då kan det allmänna fallet ses som:

${\begin{aligned}\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)&=\det \left(\mathbf {A} \right )\det \left(\mathbf {I} +\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)\ \&=\det \left(\mathbf {A} \right)\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf { u} \right)\right).\end{aligned}}$

Ansökan

Om determinanten och inversen av A redan är kända, ger formeln ett numeriskt billigt sätt att beräkna determinanten för A korrigerad av matrisen uv ^T . Beräkningen är relativt billig eftersom determinanten för A + uv ^T inte behöver beräknas från början (vilket i allmänhet är dyrt). Med hjälp av enhetsvektorer för u och/eller v kan enskilda kolumner, rader eller element i A manipuleras och en motsvarande uppdaterad determinant beräknas relativt billigt på detta sätt.

När matrisdeterminantlemmat används tillsammans med Sherman–Morrison-formeln kan både inversen och determinanten bekvämt uppdateras tillsammans.

Generalisering

Antag att A är en inverterbar n -by- n matris och U , V är n -by- m matriser. Sedan

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det(\mathbf {A} ).$

I specialfallet $\mathbf {A} =\mathbf {I_{n}}$ är detta Weinstein-Aronszajn-identiteten .

Givet dessutom en inverterbar m -by- m matris W , kan sambandet också uttryckas som

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf { V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det \left(\mathbf {W} \right)\det \left(\mathbf {A } \höger).$

Se även

• Sherman –Morrison-formeln , som visar hur man uppdaterar inversen, A ⁻¹ , för att erhålla ( A + uv ^T ) ⁻¹ .
• Woodbury -formeln , som visar hur man uppdaterar inversen, A ⁻¹ , för att erhålla ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .
• Binomialsatsen för ( A + UCV ^T ) −1 ^.