Mathieu groupoid
Inom matematik är Mathieu groupoid M 13 en groupoid som verkar på 13 punkter så att stabilisatorn för varje punkt är Mathieu-gruppen M 12 . Det introducerades av Conway ( 1987 , 1997 ) och studerades i detalj av Conway, Elkies & Martin (2006) .
Konstruktion
Det projektiva planet av ordning 3 har 13 punkter och 13 linjer, som var och en innehåller 4 punkter. Mathieu groupoid kan visualiseras som ett glidblockspussel genom att placera 12 räknare på 12 av de 13 punkterna i det projektiva planet. Ett drag består av att flytta en räknare från valfri punkt x till den tomma punkten y och sedan byta ut de 2 andra räknarna på raden som innehåller x och y . Mathieu groupoid består av de permutationer som kan erhållas genom att komponera flera drag.
Detta är inte en grupp eftersom två operationer A och B endast kan sammanställas om den tomma punkten efter att A har utförts är den tomma punkten i början av B . Det är i själva verket en groupoid (en kategori så att varje morfism är inverterbar) vars 13 objekt är de 13 punkterna och vars morfismer från x till y är operationerna som tar den tomma punkten från x till y . Morfismerna som fixerar den tomma punkten bildar en grupp isomorf till Mathieu-gruppen M 12 med 12×11×10×9×8 element.
- Conway, John Horton (1987), "Graphs and groups and M13", Graph Theory Notes of New York , XIV : 18–29
- Conway, John Horton (1997), "M₁₃", Surveys in combinatorics, 1997 (London) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 241, Cambridge University Press , s. 1–11, doi : 10.1017/CBO9780511662119.002 , ISBN 9780511662119 , MR 1477742
- Conway, John Horton ; Elkies, Noam D. ; Martin, Jeremy L. (2006), "The Mathieu group M12 and its pseudogroup extension M13" , Experimental Mathematics , 15 (2): 223–236, arXiv : math/0508630 , doi : 10.1080/10.1080/10520604.8108SN6,8120604.820604.1052060 .1052060 .10520604 . 58- 6458 , MR 2253008
- Nakashima, Yasuhiro (2008), "The transitivity of Conway's M₁₃", Discrete Mathematics , 308 (11): 2273–2276, doi : 10.1016/j.disc.2007.04.053 , ISSN 3501 , ISSN 3501
- Gill, Nick; Gillespie, Neil; Nixon, Anthony; Semeraro, Jason (2014). "Pusselgrupper". arXiv : 1405.1701v2 [ math.GR ].