Matematiska principer för förstärkning

De matematiska principerna för förstärkning ( MPR ) utgörs av en uppsättning matematiska ekvationer som lagts fram av Peter Killeen och hans kollegor som försöker beskriva och förutsäga de mest grundläggande aspekterna av beteende (Killeen & Sitomer, 2003).

De tre nyckelprinciperna för MPR, upphetsning, begränsning och koppling, beskriver hur incitament motiverar att svara, hur tiden begränsar det respektive hur förstärkare blir associerade med specifika svar. Matematiska modeller tillhandahålls för dessa grundläggande principer för att artikulera nödvändiga detaljer i faktiska data.

Första principen: upphetsning

Den första grundläggande principen för MPR är upphetsning . Arousal hänvisar till aktivering av beteende genom presentation av incitament . En ökning av aktivitetsnivån efter upprepade presentationer av incitament är en grundläggande aspekt av konditionering . Killeen, Hanson och Osborne (1978) föreslog att adjunktiva (eller schemainducerade) beteenden normalt är förekommande delar av en organisms repertoar. Leverans av incitament ökar frekvensen av kompletterande beteenden genom att generera en ökad nivå av allmän aktivitet, eller upphetsning, hos organismer.

Killeen & Hanson (1978) exponerade duvor för en enda daglig presentation av mat i experimentkammaren och mätte allmän aktivitet i 15 minuter efter en utfodring. De visade att aktivitetsnivån ökade något direkt efter en utfodring och sedan minskade långsamt med tiden. Avklingningshastigheten kan beskrivas med följande funktion:

$b(t)=b_{1}\ gånger e^{\frac {-t}{\alpha }}$

b ₁ = y-skärning (svar pr. minut)

t = tid i sekunder sedan matning

$\alpha$ = tidskonstant

e = bas för naturlig logaritm

Tidsförloppet för hela den teoretiska modellen för allmän aktivitet modelleras av följande ekvation:

$R=A\times (e^{\frac {-t}{C}}-e^{\frac {-t}{I} })$

A = upphetsning

I = temporal hämning

C = konkurrerande beteenden

För att bättre konceptualisera denna modell, föreställ dig hur svarshastigheten skulle se ut med var och en av dessa processer individuellt. I frånvaro av tidsmässig hämning eller konkurrerande svar, skulle upphetsningsnivån förbli hög och svarsfrekvensen skulle avbildas som en nästan horisontell linje med en mycket liten negativ lutning. Direkt efter matpresentation är temporär hämning på maximal nivå. Den minskar snabbt när tiden går, och svarsfrekvensen skulle förväntas öka upp till nivån av upphetsning på kort tid. Konkurrerande beteenden som målspårning eller trattinspektion är som ett minimum direkt efter matpresentation. Dessa beteenden ökar när intervallet går, så måttet på allmän aktivitet skulle sakta minska. Att subtrahera dessa två kurvor resulterar i den förutsagda nivån av allmän aktivitet.

Killeen et al. (1978) ökade sedan matningsfrekvensen från daglig till varje sekund med fast tid. De visade att den allmänna aktivitetsnivån ökade avsevärt från nivån för daglig presentation. Svarsfrekvensasymptoter var högst för de högsta frekvenserna av förstärkning . Dessa experiment indikerar att upphetsningsnivån är proportionell mot graden av hets, och den asymptotiska nivån ökar med upprepade presentationer av incitament. Ökningen av aktivitetsnivån med upprepad presentation av incitament kallas kumulering av upphetsning. Den första principen för MPR säger att upphetsningsnivån är proportionell mot förstärkningsgraden , $A=ar$ , där:

A = upphetsningsnivå

a = specifik aktivering

r = förstärkningsgrad

(Killeen & Sitomer, 2003).

Andra principen: begränsning

En uppenbar men ofta förbisedd faktor när man analyserar svarsfördelningar är att svar inte är omedelbara, utan tar en viss tid att avge (Killeen, 1994). Dessa tak för svarsfrekvensen förklaras ofta av konkurrens från andra svar, men mindre ofta av det faktum att svar inte alltid kan avges i samma takt som de framkallas (Killeen & Sitomer, 2003). Denna begränsande faktor måste tas med i beräkningen för att korrekt karakterisera vad som kan svara teoretiskt och vad det kommer att vara empiriskt.

En organism kan få impulser att svara i en viss takt. Vid låga förstärkningshastigheter kommer den framkallade hastigheten och den emitterade hastigheten att närma sig varandra. Vid höga förstärkningsfrekvenser dämpas dock denna framkallade hastighet av hur lång tid det tar att avge ett svar. Svarsfrekvens, $b$ , mäts vanligtvis som antalet svar som inträffar under en epok dividerat med varaktigheten av en epok. Den reciproka av $b$ ger det typiska måttet på interresponsen (IRT), den genomsnittliga tiden från början av ett svar till starten av ett annat (Killeen & Sitomer, 2003). Detta är faktiskt cykeltiden snarare än tiden mellan svaren. Enligt Killeen & Sitomer (2003) består IRT av två delintervall , den tid som krävs för att avge ett svar, $\delta$ plus tiden mellan svaren, $\tau$ . Därför kan svarsfrekvensen mätas antingen genom att dividera antalet svar med cykeltiden:

$b={\frac {1}{\delta +\tau }}$ ,

eller som antalet svar dividerat med den faktiska tiden mellan svaren:

$b={\frac {1}{\tau }}$ .

Denna momentana hastighet, ${\frac {1}{\tau }}$ kan vara det bästa måttet att använda, eftersom operandumets karaktär kan ändras godtyckligt inom ett experiment (Killeen & Sitomer, 2003).

Killeen, Hall, Reilly och Kettle (2002) visade att om den momentana svarshastigheten är proportionell mot förstärkningshastigheten, ${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=ar},$ då grundläggande ekvation för MPR-resultat. Killeen & Sitomer (2003) visade att:

om $\tau =1/ar$

då är $b={\frac {1}{(\delta +{\frac {1}{ar}})}}$ ,

och omarrangering ger:

$b={\frac {r}{\delta r+{\frac {1}{a}}}}$

Även om svar kan framkallas med en hastighet som är proportionell mot ${\displaystyle A=ar},$ kan de bara sändas ut med hastigheten $b$ på grund av begränsningar. Den andra principen i MPR säger att den tid som krävs för att avge ett svar begränsar svarsfrekvensen (Killeen & Sitomer, 2003).

Tredje principen: koppling

Koppling är det sista konceptet för MPR som binder alla processer samman och möjliggör specifika förutsägelser av beteende med olika scheman för förstärkning. Koppling hänvisar till sambandet mellan svar och förstärkare. Målsvaret är svaret av intresse för försöksledaren, men vilket svar som helst kan associeras med en förstärkare. Eventuella förstärkningar hänvisar till hur en förstärkare är schemalagd med avseende på målsvaret (Killeen & Sitomer, 2003), och de specifika scheman för förstärkning som faktiskt avgör hur svaren kopplas till förstärkaren. Den tredje principen i MPR säger att graden av koppling mellan ett svar och en förstärkare minskar med avståndet mellan dem (Killeen & Sitomer, 2003). Kopplingskoefficienter , betecknade som $c$ , ges för de olika förstärkningsschemana. När kopplingskoefficienterna infogas i aktiveringsbegränsningsmodellen härleds kompletta modeller av konditionering:

$b={\frac {cr}{\delta r+1/a}}$

Detta är den grundläggande ekvationen för MPR. Punkten efter $c$ är en platshållare för de specifika händelser av förstärkning som studeras (Killeen & Sitomer, 2003).

Förstärkningsscheman med fast proportion

Förstärkningsgraden för scheman med fast kvot är lätt att beräkna, eftersom förstärkningsgraden är direkt proportionell mot svarsfrekvensen och omvänt proportionell mot kvotkravet (Killeen, 1994). Schemaåterkopplingsfunktionen är därför:

$r={\frac {b}{n}}$ .

Att ersätta denna funktion i den kompletta modellen ger rörelseekvationen för kvotscheman (Killeen & Sitomer, 2003). Killeen (1994, 2003) visade att det senaste svaret i en sekvens av svar vägs tyngst och får vikten ${\displaystyle \beta } ,$ vilket lämnar $1-\beta$ för de återstående svaren . Det näst sista svaret får $\beta (1-\beta )$ , den tredje baksidan får $\beta (1-\beta )^{2}$ . Det ${\displaystyle n}:$ te svaret tillbaka får vikten $\beta (1-\beta )^{n-1}$

Summan av denna serie är kopplingskoefficienten för scheman med fasta förhållanden:

$c_{FR_{n}}=1-(1-\beta )^{n}$

Den kontinuerliga approximationen av detta är:

$c_{FR_{n}}=1-e^{-\lambda n}$

där $\lambda$ är den inneboende hastigheten för minnesförfall. Att infoga förstärkningshastigheten och kopplingskoefficienten i aktiveringsbegränsningsmodellen ger de förutsagda svarsfrekvenserna för FR-scheman:

$b={\frac {c.}{\delta }}-{\frac {n}{\delta a}}$

Denna ekvation förutsäger låga svarsfrekvenser vid låga kvotkrav på grund av förskjutningen av minnet genom fullbordat beteende. Dessa låga priser finns dock inte alltid. Koppling av svar kan sträcka sig tillbaka utanför föregående förstärkare, och en extra parameter, ${\textstyle n_{0}}$ läggs till för att ta hänsyn till detta. Killeen & Sitomer (2003) visade att kopplingskoefficienten för FR-scheman då blir:

$c_{FR_{n}}=1-(1-\beta)n+n_{0} =1-\epsilon (1-\beta )n$

${\textstyle n_{0}}$ är antalet svar som föregår den föregående förstärkaren som bidrar till svarsstyrkan. ${\textstyle \epsilon }$ som sträcker sig från 0 till 1 är då graden av radering av målsvaret från minnet med leverans av en förstärkare. ( ${\textstyle \epsilon =(1-\beta )n_{0}}$ ) Om $\epsilon =1$ är raderingen klar och den enklare FR-ekvationen kan vara Begagnade.

Förstärkningsscheman med variabelt förhållande

Enligt Killeen & Sitomer (2003) kan varaktigheten av ett svar påverka graden av minnesförfall. När svarstiden varierar, antingen inom eller mellan organismer, behövs en mer komplett modell, och $\beta$ ersätts med $1-e^{-\lambda \delta }$ ger:

$1-\epsilon (1-\beta )\delta n=1-\epsilon e^{-\lambda \delta n}$

Idealiserade scheman med variabelt förhållande med ett medelsvarskrav på $n$ har en konstant sannolikhet på $1/n$ för ett svar som slutar med förstärkning (Bizo, Kettle, & Killeen, 2001). Det sista svaret som slutar på förstärkning måste alltid inträffa och får förstärkning av $\beta$ . Det näst sista svaret inträffar med sannolikheten $1-p$ och får en förstärkning av $\beta (1-\beta )$ . Summan av denna process upp till oändligheten är (Killeen 2001, Appendix):

$C(n)=\summa _{j=1}^{\infty }\beta (1-\beta )^{j-1}(1-p)^{j-1}$

Kopplingskoefficienten för VR-scheman blir:

$c_{VR_{n}}={\frac {n}{n+{\frac {(1-b)}{b}}}}$

Multiplicering med graden av radering av minnet ger:

$c_{VR_{n}}={\frac {n}{n+\epsilon {\frac {(1-\beta )}{\beta }}}}$

Kopplingskoefficienten kan sedan infogas i aktiveringsbegränsningsmodellen precis som kopplingskoefficienten för FR-scheman för att ge förutspådda svarsfrekvenser under VR-scheman:

$b={\frac {c_{VR_{n}}}{\delta }}-{\frac {n}{\delta a}}$

I intervallscheman är funktionen för återkoppling av schema

$R={\frac {1}{t}}$

där $t$ är den minsta genomsnittliga tiden mellan förstärkare (Killeen, 1994). Koppling i intervallscheman är svagare än förhållandescheman, eftersom intervallscheman lika stärker alla svar som föregår målet snarare än bara målsvaret. Endast en viss andel $\rho$ av minnet stärks. Med ett svarskrav måste det slutliga målsvaret få styrkan $\beta$ . Alla föregående svar, mål eller icke-mål, får en förstärkning på $1-\beta$ .

Fasttidsscheman är de enklaste tidsberoende scheman där organismer helt enkelt måste vänta t sekunder på ett incitament. Killeen (1994) omtolkade tidskrav som svarskrav och integrerade minnets innehåll från ett incitament till ett annat. Detta ger innehållet i minnet att vara:

N

MN= lò e-lndn

0

Detta är graden av mättnad i minnet av alla svar, både mål och icke-mål, framkallade i sammanhanget (Killeen, 1994). Att lösa denna ekvation ger kopplingskoefficienten för fasta tidscheman:

c=r(1-e-lbt)

där $\rho$ är andelen målsvar i svarsbanan. Att expandera till en effektserie ger följande approximation:

c» rlbt

1+lbt

Denna ekvation förutsäger allvarlig instabilitet för icke-kontingenta scheman för förstärkning.

Schema med fasta intervaller garanteras en förstärkning av ett målsvar, b=w1, eftersom förstärkning är beroende av denna slutliga, sammanhängande respons (Killeen, 1994). Denna koppling motsvarar kopplingen på FR 1-scheman

wl=b=1-el.

Återstoden av kopplingen beror på minnet av föregående beteende. Kopplingskoefficienten för FI-scheman är:

c= b +r(1-b-e-lbt).

Schema för variabel tid liknar scheman för slumpmässiga kvoter genom att det finns en konstant sannolikhet för förstärkning, men dessa förstärkare sätts upp i tid snarare än svar. Sannolikheten för att ingen förstärkning inträffar före någon tid t' är en exponentiell funktion av den tiden där tidskonstanten t är schemats genomsnittliga IRI (Killeen, 1994). För att härleda kopplingskoefficienten måste sannolikheten för att schemat inte har avslutats, viktat av innehållet i minnet, integreras.

∞

M= lò e-n't/te-ln' dn'

0

I denna ekvation är t'=n't, där t är en liten tidsenhet. Killeen (1994) förklarar att den första exponentiella termen är förstärkningsfördelningen, medan den andra termen är viktningen av denna fördelning i minnet. Att lösa denna integral och multiplicera med kopplingskonstanten r, ger i vilken utsträckning minnet är fyllt på VT-scheman:

c=rlbt

1+lbt

Detta är samma kopplingskoefficient som ett FT-schema, förutom att det är en exakt lösning för VT-scheman snarare än en approximation. Återigen förutspår återkopplingsfunktionen på dessa icke-kontingenta scheman allvarlig instabilitet när det gäller att svara.

Som med FI-scheman garanteras scheman med variabelt intervall en målsvarskoppling på b. Att helt enkelt lägga till b till VT-ekvationen ger:

∞

M= b+ lò e-n't/te-ln' dn'

1

Att lösa integralen och multiplicera med r ger kopplingskoefficienten för VI-scheman:

c= b+(1-b) rlbt

1+lbt

Kopplingskoefficienterna för alla scheman infogas i aktiveringsbegränsningsmodellen för att ge den förutsagda, totala svarsfrekvensen. Den tredje principen i MPR säger att kopplingen mellan ett svar och en förstärkare minskar med ökad tid mellan dem (Killeen & Sitomer, 2003).

Matematiska principer för förstärkning beskriver hur incitament ger upphov till beteende, hur tiden begränsar det och hur oförutsedda faktorer styr det. Det är en allmän teori om förstärkning som kombinerar både kontiguititet och korrelation som förklarande beteendeprocesser. Många svar som föregår förstärkning kan bli korrelerade med förstärkaren, men det slutliga svaret får störst vikt i minnet. Specifika modeller tillhandahålls för de tre grundläggande principerna för att artikulera förutsagda svarsmönster i många olika situationer och under olika scheman för förstärkning. Kopplingskoefficienter för varje förstärkningsschema härleds och infogas i den fundamentala ekvationen för att ge totala förutsagda svarsfrekvenser.

Källor

• Bizo, LA, Kettle, LC & Killeen, PR (2001). "Djur svarar inte alltid snabbare för mer mat: den paradoxala stimulanseffekten." Animal Learning & Behaviour , 29 , 66-78.
• Killeen, PR (1994). "Matematiska principer för förstärkning." Behavioral and Brain Sciences , 17 , 105-172.
• Killeen, PR, Hall, SS, Reilly, MP, & Kettle, LC (2002). "Molekylära analyser av de viktigaste komponenterna i svarsstyrkan." Journal of the Experimental Analysis of Behavior , 78 , 127-160.
• Killeen, PR, Hanson, SJ, & Osborne, SR (1978). "Arousal: Dess uppkomst och manifestation som svarsfrekvens." Psykologisk granskning . Vol 85 nr 6 . sid. 571-81
• Killeen, PR & Sitomer, MT (2003). "MPR." Behavioral Processer , 62 , 49-64