Mass-luminositetsförhållande

Inom astrofysik är förhållandet mellan massa och ljusstyrka en ekvation som ger förhållandet mellan en stjärnas massa och dess ljusstyrka , som först noterades av Jakob Karl Ernst Halm . Sambandet representeras av ekvationen:

${\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{ a}$

där L _⊙ och M _⊙ är solens ljusstyrka och massa och 1 < a < 6. Värdet a = 3,5 används vanligtvis för huvudsekvensstjärnor . Denna ekvation och det vanliga värdet på a = 3,5 gäller endast huvudsekvensstjärnor med massan 2 M _⊙ < M < 55 M _⊙ och gäller inte för röda jättar eller vita dvärgar. När en stjärna närmar sig Eddingtons ljusstyrka är a = 1.

Sammanfattningsvis är relationerna för stjärnor med olika massaområden, till en bra approximation, som följande:

$${\frac {L}{L_{\odot }}}\approx 0,23\left({\frac {M}{M_{ \odot }}}\right)^{2.3}\qquad (M<0.43M_{\odot })$$

$${\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_ {\odot }}}\right)^{4}\qquad \qquad (0,43M_{\odot <M<2M_{\odot })$$

$${\frac {L}{L_{\odot }}}\ca 1,4\vänster({\frac {M }{M_{\odot }}}\right)^{3.5}\qquad (2M_{\odot <M<55M_{\odot })$$

$${\frac {L}{L_{\odot }}}\approx 32000{\frac {M}{M_{\odot }}}\ qquad \qquad (M>55M_{\odot })$$

För stjärnor med massa mindre än 0,43 M _⊙ , är konvektion den enda energitransportprocessen, så förhållandet förändras avsevärt. För stjärnor med massorna M > 55 M _⊙ planar förhållandet ut och blir L ∝ M men i själva verket håller dessa stjärnor inte eftersom de är instabila och snabbt förlorar materia av intensiva solvindar. Det kan visas att denna förändring beror på en ökning av strålningstrycket i massiva stjärnor. Dessa ekvationer bestäms empiriskt genom att bestämma massan av stjärnor i binära system till vilka avståndet är känt via standardparallaxmätningar eller andra tekniker. Efter att tillräckligt många stjärnor har plottats kommer stjärnor att bilda en linje på en logaritmisk plot och linjens lutning ger det korrekta värdet av a .

En annan form, giltig för huvudsekvensstjärnor av K-typ , som undviker diskontinuiteten i exponenten har getts av Cuntz & Wang; det står:

$${\frac {L}{L_{\odot }}}\approx \left({\frac { M}{M_{\odot }}}\right)^{a(M)}\qquad \qquad (0.20M_{\odot <M<0.85M_{\odot })$$

med

$$a(M)=-141,7\cdot M^{4}+232 3}-129.1\cdot M^{2}+33.29\cdot M+0.215$$

( M i M _⊙ ). Denna relation är baserad på data från Mann och medarbetare, som använde spektra med måttlig upplösning av närliggande sen-K- och M-dvärgar med kända parallaxer och interferometriskt bestämda radier för att förfina deras effektiva temperaturer och ljusstyrkor. Dessa stjärnor har också använts som ett kalibreringsprov för Kepler -kandidatobjekt. Förutom att undvika diskontinuiteten i exponenten vid M = 0,43 M _⊙ återvinner relationen också a = 4,0 för M ≃ 0,85 M _⊙ .

Mass/luminositetsrelationen är viktig eftersom den kan användas för att hitta avståndet till binära system som är för långt för normala parallaxmätningar , med hjälp av en teknik som kallas " dynamisk parallax ". I denna teknik uppskattas massorna av de två stjärnorna i ett binärt system, vanligtvis som solens massa. Sedan, med hjälp av Keplers lagar för himmelsk mekanik , beräknas avståndet mellan stjärnorna. När detta avstånd väl har hittats kan avståndet hittas via bågen som är spänd på himlen, vilket ger en preliminär avståndsmätning. Från denna mätning och skenbara magnituder kan ljusstyrkorna hittas, och genom att använda förhållandet mellan massa och ljusstyrka, massorna av varje stjärna. Dessa massor används för att beräkna separationsavståndet, och processen upprepas. Processen upprepas många gånger och noggrannheter så höga som 5 % kan uppnås. Förhållandet mellan massa och ljusstyrka kan också användas för att bestämma stjärnors livslängd genom att notera att livslängden är ungefär proportionell mot M/L även om man finner att mer massiva stjärnor har kortare livslängder än vad M/L-förhållandet förutsäger. En mer sofistikerad beräkning faktorer i en stjärnas förlust av massa över tid.

Härledning

Att härleda ett teoretiskt exakt förhållande mellan massa och ljusstyrka kräver att man hittar energigenereringsekvationen och bygger en termodynamisk modell av insidan av en stjärna. Den grundläggande relationen L ∝ M ³ kan dock härledas med hjälp av en del grundläggande fysik och förenklade antaganden. Den första sådan härledningen utfördes av astrofysikern Arthur Eddington 1924. Härledningen visade att stjärnor ungefär kan modelleras som idealgaser, vilket var en ny, något radikal idé på den tiden. Det som följer är ett något modernare tillvägagångssätt som bygger på samma principer.

En viktig faktor som styr en stjärnas ljusstyrka (energi som avges per tidsenhet) är hastigheten för energiförlusten genom dess bulk. Där det inte finns någon värmekonvektion sker denna spridning huvudsakligen genom att fotoner diffunderar. Genom att integrera Ficks första lag över ytan av någon radie r i strålningszonen (där det finns försumbar konvektion), får vi det totala utgående energiflödet som är lika med ljusstyrkan genom bevarande av energi :

$$L=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}$$

där D är fotonernas diffusionskoefficient och u är energitätheten.

Observera att detta förutsätter att stjärnan inte är helt konvektiv, och att alla värmeskapande processer ( nukleosyntes ) sker i kärnan, under strålningszonen. Dessa två antaganden är inte korrekta i röda jättar , som inte följer det vanliga förhållandet mellan massa och ljusstyrka. Stjärnor med låg massa är också helt konvektiva och följer därför inte lagen.

När man approximerar stjärnan med en svart kropp , är energitätheten relaterad till temperaturen enligt Stefan-Boltzmann-lagen :

$$u={\frac {4}{c}}\,\sigma _{B}\,T^{4}$$

var

$$\sigma _{B}={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.$$

är Stefan–Boltzmann-konstanten , c är ljusets hastighet , k _B är Boltzmann-konstanten och $\hbar$ är den reducerade Planck-konstanten .

Liksom i teorin om diffusionskoefficient i gaser , uppfyller diffusionskoefficienten D ungefär:

$$D={\frac {1}{3}}c\,\lambda$$

där λ är fotonmedelvärdet för den fria vägen .

Eftersom materia är fullständigt joniserad i stjärnkärnan (liksom där temperaturen är av samma storleksordning som inuti kärnan), kolliderar fotoner huvudsakligen med elektroner, och så tillfredsställer λ

$$\lambda ={\frac {1}{n_{e}\sigma _{e\cdot \gamma }}}$$

Här är $n_{e}$ elektrondensiteten och:

$$\sigma _{e\cdot \gamma }={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {\alpha \hbar c}{m_{e}c^{2}}}\right)^{2}$$

är tvärsnittet för elektron-fotonspridning, lika med Thomsons tvärsnitt . α är finstrukturkonstanten och m _e elektronmassan.

Den genomsnittliga stjärnelektrondensiteten är relaterad till stjärnmassan M och radien R

$$\langle n_{e}\rangle ={\frac {M}{m_{n}4\pi R^{3}/3}}$$

Slutligen, enligt virialsatsen , är den totala kinetiska energin lika med hälften av den potentiella gravitationsenergin EG , så om den genomsnittliga kärnmassan är m _{n , så} uppfyller den genomsnittliga kinetiska energin per kärna:

$${\frac {3}{2}}k_{B}T={\frac {1}{2} }E_{G}{\frac {m_{n}}{M}}=C{\frac {3}{10}}{\frac {GMm_{n}}{R}}$$

där temperaturen T är medelvärde över stjärnan och C är en faktor av ordning ett relaterat till stjärnstrukturen och kan uppskattas från stjärnans ungefärliga polytropiska index . Observera att detta inte gäller för tillräckligt stora stjärnor, där strålningstrycket är större än gastrycket i strålningszonen, varför förhållandet mellan temperatur, massa och radie är annorlunda, som beskrivs nedan.

När vi sammanfattar allt tar vi också r för att vara lika med R upp till en faktor, och n _e at r ersätts av dess stjärnmedelvärde upp till en faktor. Den sammanlagda faktorn är ungefär 1/15 för solen, och vi får:

$${\begin{aligned}L&=-4\pi \,r^{2}D {\frac {\partial u}{\partial r}}\approx 4\pi \,R^{2}D{\frac {u}{R}}\\L&\approx {\frac {1}{15 }}{\frac {64\pi ^{2}}{9}}{\frac {\sigma _{B}}{\sigma _{e\cdot \gamma }}}{\frac {R^{4 }T^{4}m_{n}}{M}}\\&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {2\pi ^{3}}{9\cdot 5^{5 }}}{\frac {G^{4}\,m_{e}^{2}\,m_{n}^{5}}{\alpha ^{2}\hbar ^{5}}}\, M^{3}=4\cdot {10^{26}}_{W}\,\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}\\\end {Justerat}}$$

Den adderade faktorn är faktiskt beroende av M , därför har lagen ett ungefärligt $M^{3,5}$ beroende.

Att skilja mellan små och stora stjärnmassor

Huvudartikel: Eddington luminosity

Man kan skilja mellan fallen med små och stora stjärnmassor genom att härleda ovanstående resultat med hjälp av strålningstryck. I detta fall är det lättare att använda den optiska opaciteten $\kappa$ och att överväga den inre temperaturen T _I direkt; mer exakt kan man överväga medeltemperaturen i strålningszonen .

Övervägandet börjar med att notera sambandet mellan strålningstrycket P _rad och ljusstyrkan. Gradienten för strålningstrycket är lika med den momentumöverföring som absorberas från strålningen, vilket ger:

$${\frac {dP_{rad}}{dr}}=-{\frac {\kappa \rho }{c}}{ \frac {L}{4\pi r^{2}}},$$

där c är ljusets hastighet. Här är $1/\kappa \rho =l$ ; fotonen betyder fri väg.

Strålningstrycket är relaterat till temperaturen med $P_{rad}={\frac {4\sigma }{3c}}{T_{I}}^{4 }$ , alltså

$${T_{I}}^{3}{\frac {dT_{I}}{dr}}=-{ \frac {3\kappa \rho }{16\sigma }}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},$$

varav det direkt följer att

$$L\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R}{\rho }}\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R^{4}}{ M}}.$$

I strålningszonen balanseras gravitationen av trycket på gasen som kommer från både sig själv (ungefärligt med idealt gastryck) och från strålningen. För en tillräckligt liten stjärnmassa är den senare försumbar och man kommer fram till

$$T_{I}\varpropto {\frac {M}{R}}$$

som förut. Mer exakt, eftersom integrationen gjordes från 0 till R så $T_{I}-T_{E}$ på vänster sida, men yttemperaturen TE _kan försummas med avseende på den inre temperaturen T _jag .

Av detta följer direkt att

$$L\varpropto M^{3}.$$

För en tillräckligt stor stjärnmassa är strålningstrycket större än gastrycket i strålningszonen. Att plugga in strålningstrycket, istället för det ideala gastrycket som används ovan, ger efter

$${T_{I}}^{4}\varpropto {\frac {M^{2}}{R^{4}}},$$

därav

$$L\varpropto M.$$

Kärn- och yttemperaturer

Till den första approximationen är stjärnor svartkroppsstrålare med en yta på 4 πR ² . Alltså, från Stefan–Boltzmann-lagen , är ljusstyrkan relaterad till yttemperaturen T _S , och genom den till stjärnans färg , genom att

$$L=4\pi R^{2}\sigma _{B}T_{S}^{4}$$

där σ _B är Stefan–Boltzmanns konstant , 5,67 × 10 ⁻⁸ W m ⁻² K ⁻⁴

Ljusstyrkan är lika med den totala energi som stjärnan producerar per tidsenhet. Eftersom denna energi produceras av nukleosyntes, vanligtvis i stjärnkärnan (detta är inte sant för röda jättar ), är kärntemperaturen relaterad till ljusstyrkan med nukleosynteshastigheten per volymenhet:

$$L={ \frac {dE}{dt}}\approx \epsilon \,{\frac {4\pi }{3}}R^{3}\,n_{A}\,n_{B}\,{\frac { 4{\sqrt {2}}}{\sqrt {3m_{R}}}}\,{\sqrt {E_{0}(T)}}{\frac {S(E_{0}(T))} {kT}}e^{-{\frac {3E_{0}(T)}{kT}}}$$

Här är ε den totala energi som emitteras i kedjereaktionen eller reaktionscykeln . ${\textstyle E_{0}=\left({\sqrt {E_{G}}}\,kT/2\right)^{2/3}}$ är Gamow -toppenergin , beroende på EG , Gamow _- faktorn . Dessutom S ( E )/E reaktionstvärsnittet, n är taldensitet, $m_{R}=m_{A}\cdot m_ {B}/(m_{A}+m_{B})$ är den reducerade massan för partikelkollisionen, och A , B är de två arterna som deltar i den begränsande reaktionen (t.ex. står båda för en proton i proton-protonen kedjereaktion , eller A en proton och B en
¹⁴ ₇ N
kärna för CNO-cykeln ).

Eftersom radien R i sig är en funktion av temperaturen och massan, kan man lösa denna ekvation för att få kärntemperaturen.