Martins max

I mängdteorin , en gren av matematisk logik , är Martins maximum , introducerad av Foreman, Magidor & Shelah (1988) och uppkallad efter Donald Martin , en generalisering av det korrekta tvingande axiomet , i sig en generalisering av Martins axiom . Det representerar den bredaste klassen av forceringar för vilka ett forceringsaxiom är konsekvent.

Martins maximum (MM) anger att om D är en samling av $\aleph _{1}$ täta delmängder av en föreställning om forcering som bevarar stationära delmängder av ω ₁ , så finns det ett D -generiskt filter. Forcering med en ccc -uppfattning om forcering bevarar stationära delmängder av ω ₁ , sålunda utökar MM ${\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{1})}$ . Om ( P ,≤) inte är en stationär mängd som bevarar begreppet forcering, dvs det finns en stationär delmängd av ω ₁ , som blir icke-stationär när man forcerar med ( P ,≤), så finns det en samling D på ${\ displaystyle \aleph _{1}}$ täta delmängder av ( P ,≤), så att det inte finns något D -generiskt filter. Det är därför MM kallas den maximala förlängningen av Martins axiom.

Förekomsten av en superkompakt kardinal innebär konsekvensen av Martins maximum. Beviset använder Shelahs teorier om halvkorrekt forcering och iteration med reviderade räknebara stöd.

MM innebär att värdet på kontinuumet är $\aleph _{2}$ och att idealet för icke-stationära mängder på ω ₁ är $\aleph _{2}$ -mättade. Det innebär vidare stationär reflektion, dvs om S är en stationär delmängd av någon vanlig kardinal κ ≥ ω ₂ och varje element i S har en räknebar kofinalitet, så finns det en ordinär α < κ så att S ∩ α är stationär i α . Faktum är S innehåller en sluten delmängd av ordningstyp ω ₁ .

Anteckningar

•     Förman, M. ; Magidor, M .; Shelah, Saharon (1988), "Martins maximum, saturated ideals, and nonregular ultrafilters. I.", Annals of Mathematics , Second series, 127 (1): 1–47, doi : 10.2307/1971415 , JSTOR 1971415 MR 2 , 2467 09 , 2467 Zbl 0645.03028 rättelse
•    Jech, Thomas (2003), Set Theory , Springer Monographs in Mathematics (Third millennium ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7 , Zbl 1007.03002
•    Moore, Justin Tatch (2011), "Logic and foundations: the proper forcing axiom", i Bhatia, Rajendra (red.), Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM 2010), Hyderabad, Indien, 19–27 augusti, 2010 Vol. II: Inbjudna föreläsningar (PDF) , Hackensack, NJ: World Scientific, s. 3–29, ISBN 978-981-4324-30-4 , Zbl 1258.03075

Se även

• Transfinite tal