Markov vägmätare

I matematik är en Markov-odometer en viss typ av topologiskt dynamiskt system . Det spelar en grundläggande roll i ergodisk teori och speciellt i omloppsteorin för dynamiska system , eftersom en teorem av H. Dye hävdar att varje ergodisk icke-singular transformation är omloppsekvivalent med en Markov-odometer.

Det grundläggande exemplet på ett sådant system är den "icke-singulära vägmätaren", som är en additiv topologisk grupp definierad på produktutrymmet för diskreta utrymmen , inducerad av addition definierad som $x\mapsto x+{\underline { 1}}$ , där ${\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )$ . Denna grupp kan förses med strukturen av ett dynamiskt system ; resultatet är ett konservativt dynamiskt system .

Den allmänna formen, som kallas "Markov odometer", kan konstrueras genom Bratteli–Vershik-diagram för att definiera Bratteli–Vershik compactum- rymden tillsammans med en motsvarande transformation.

Icke singulära vägmätare

Flera typer av icke-singulära vägmätare kan definieras. Dessa kallas ibland för att lägga till maskiner . Det enklaste illustreras med Bernoulli-processen . Detta är mängden av alla oändliga strängar i två symboler, här betecknade med $\Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ utrustad med produkttopologin . Denna definition sträcker sig naturligt till en mer allmän vägmätare definierad på produktutrymmet

$\Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(\mathbb {Z} /k_{n}\mathbb {Z} \höger)$

för någon sekvens av heltal $(k_{n})$ med varje $k_{n}\geq 2.$

Vägmätaren för $k_{n}=2$ för alla $n$ kallas den dyadiska vägmätaren , den von Neumann–Kakutani adderingsmaskinen eller den dyadiska adderingsmaskinen .

Den topologiska entropin för varje adderande maskin är noll. Varje kontinuerlig karta av ett intervall med en topologisk entropi på noll konjugeras topologiskt till en adderande maskin, när den är begränsad till dess verkan på den topologiskt invarianta transitiva mängden, med periodiska banor borttagna.

Dyadisk vägmätare

Dyadisk vägmätare $T$ visualiserad som en intervallutbytestransformation med avbildningen $(x_{1},x_{2},\cdots )\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}.$

Dyadisk vägmätare itererade två gånger; det är $T^{2}.$

Dyadisk vägmätare upprepad tre gånger; det $T^{3}.$

Dyadisk vägmätare itererade fyra gånger; det $T^{4}.$

Uppsättningen av alla oändliga strängar i strängar i två symboler $\Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ har en naturlig topologi, produkttopologin , genererad vid cylindersatserna . Produkttopologin sträcker sig till en Borel sigma-algebra ; låt ${\mathcal {B}}$ beteckna den algebra. Individuella punkter $x\in \Omega$ betecknas som $x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ).$

Bernoulli-processen är konventionellt utrustad med en samling mått , Bernnoulli-måtten, givet av $\mu _{p}(x_{n}=1)=p$ och ${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=0)=1-p} ,$ för vissa $0<p<1$ oberoende av $n$ . Värdet på $p=1/2$ är ganska speciellt; det motsvarar specialfallet med Haarmåttet , när $\Omega$ ses som en kompakt abelian grupp . Observera att Bernoulli-måttet inte är detsamma som 2-adic-måttet på de dyadiska heltalen ! Formellt kan man observera att $\Omega$ också är basutrymmet för de dyadiska heltalen; emellertid är de dyadiska heltalen utrustade med en metrisk , den p-adiska metriken, som inducerar en metrisk topologi som är skild från produkttopologin som används här.

Mellanrummet $\Omega$ kan förses med addition, definierad som koordinataddition, med en bärbit. Det vill säga för varje koordinat, låt $(x+y)_{n}=x_{n}+y_{n}+\varepsilon _{n}\,{\bmod {\,}}2$ där $\varepsilon _{0}=0$ och

$\varepsilon _{n}={\begin{cases}0&x_{n-1}+ y_{n-1}<2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}=2\end{cases}}$

induktivt. Inkrement-för-ett kallas då den (dyadiska) vägmätaren . Det är transformationen $T:\Omega \to \Omega$ ges av $T(x)=x+{\underline {1}}$ , där ${\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )$ . Den kallas vägmätaren på grund av hur den ser ut när den "rullar över": $T$ är transformationen $T\left(1,\dots ,1,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots \ höger)=\left(0,\dots ,0,1,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)$ . Observera att $T^{-1}(0,0,\cdots )=(1,1,\cdots )$ och att ${\ displaystyle T}$ är ${\mathcal {B}}$ -mätbar, det vill säga $T^{-1}(\sigma )\in {\mathcal {B }}$ för alla $\sigma \in {\mathcal {B}}.$

Transformationen $T$ är icke-singular för varje $\mu _{p}$ . Kom ihåg att en mätbar transformation $\tau :\Omega \to \Omega$ är icke-singular när, givet ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}} ,$ en har att $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=0$ om och endast om $\mu (\sigma )=0$ . I det här fallet finner man

${\frac {d\mu _{p}\circ T}{d\mu _{p}}}=\left({\ frac {1-p}{p}}\right)^{\varphi }$

där $\varphi (x)=\min \left\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}=0\ höger\}-2$ . Därför $T$ icke-singular med avseende på $\mu _{p}$ .

Transformationen $T$ är ergodisk . Detta följer eftersom, för varje $x\in \Omega$ och naturligt tal $n$ , omloppsbanan för $x$ under $T^{0},T^{1},\cdots ,T^{2^{n}-1}$ är mängden $\{0,1\}^{ n}$ . Detta innebär i sin tur att $T$ är konservativ , eftersom varje inverterbar ergodisk icke-singular transformation i ett icke-atomiskt utrymme är konservativ.

Observera att för specialfallet av $p=1/2$ , att $\left(\Omega ,{\mathcal {B} },\mu _{1/2},T\right)$ är ett måttbevarande dynamiskt system .

Heltals vägmätare

Samma konstruktion gör det möjligt att definiera ett sådant system för varje produkt av diskreta utrymmen . Generellt, skriver man

$\Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$

för $A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1 ,\dots ,m_{n}-1\}$ med $m_{n}\geq 2$ ett heltal. Produkttopologin sträcker sig naturligt till produkten Borel sigma-algebra ${\mathcal {B}}$ på $\Omega$ . Ett produktmått på ${\mathcal {B}}$ definieras konventionellt som $\textstyle \mu =\prod _{n\in \mathbb {N} } \mu _{n},$ givet något mått $\mu _{n}$ på $A_{n}$ . Motsvarande karta definieras av

$T( x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},x_{k+2},\dots )=(0,\dots ,0,x_{k}+1,x_{k+ 1},x_{k+2},\dots )$

där $k$ är det minsta indexet för vilket $x_{k}\neq m_{k}-1$ . Detta är återigen en topologisk grupp.

Ett specialfall av detta är Ornstein-vägmätaren , som definieras på utrymmet

$\Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots$

med måttet en produkt av

$\mu _{n}(j)={\begin{cases}1/2&{\mbox{ if }}j=0\\1/2(n+1)&{\mbox{ if }}j\neq 0\\\end{cases}}$

Sandstapel modell

Ett begrepp som är nära besläktat med den konservativa vägmätaren är den abeliska sandhögmodellen . Denna modell ersätter den riktade linjära sekvensen av ändliga grupper konstruerade ovan med en oriktad graf $(V,E)$ av hörn och kanter. Vid varje vertex $v\in V$ placerar man en finit grupp $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ med ${\ displaystyle n=deg(v)}$ graden av vertex $v$ . Övergångsfunktioner definieras av grafen Laplacian . Det vill säga, man kan öka vilken given vertex som helst med en; vid inkrementering av det största gruppelementet (så att det inkrementeras tillbaka till noll), inkrementeras var och en av de närliggande hörn med ett.

Sandstapelmodeller skiljer sig från ovanstående definition av en konservativ vägmätare på tre olika sätt. För det första finns det i allmänhet ingen unik vertex som utpekats som startpunkten, medan den första vertexen ovan är startpunkten; det är den som inkrementeras av övergångsfunktionen. Därefter använder sandhögsmodellerna i allmänhet oriktade kanter, så att omslagningen av vägmätaren omfördelas i alla riktningar. En tredje skillnad är att sandhögsmodeller vanligtvis inte tas på en oändlig graf, och att det snarare finns en speciell vertex utpekad, "sink", som absorberar alla steg och aldrig lindas. Diskbänken motsvarar att skära bort de oändliga delarna av en oändlig graf, och ersätta dem med diskbänken; alternativt, som att ignorera alla ändringar efter den slutpunkten.

Markov vägmätare

Låt $B=(V,E)$ vara ett ordnat Bratteli–Vershik-diagram , består av en uppsättning hörn av formen $\textstyle \ coprod _{n\in \mathbb {N} }V^{(n)}$ (disjunkt union) där $V^{0}$ är en singelton och på en uppsättning kanter $\textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}$ (disjunkit union).

Diagrammet inkluderar källöversiktsmappningar $s_{n}:E^{(n)}\to V^{(n-1)}$ och område surjection-mappings $r_{n}:E^{(n)}\to V^{(n)}$ . Vi antar att $e,e'\in E^{(n)}$ är jämförbara om och endast om $r_{n}(e)=r_{n}(e')$ ​​.

För ett sådant diagram tittar vi på produktutrymmet $\textstyle E:=\prod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}$ utrustade med produkttopologin . Definiera "Bratteli–Vershik compactum" för att vara underrummet av oändliga vägar,

$X_{B}:=\left \{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E\mid x_{n}\in E^{(n)}{\text{ och }}r(x_{ n})=s(x_{n+1})\right\}$

Antag att det bara finns en oändlig väg $x_{\max }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ för vilken varje ${ \displaystyle x_{n}}$ är maximal och på samma sätt en oändlig väg $x_{\text{min}}$ . Definiera "Bratteli-Vershik-kartan" $T_{B}:X_{B}\to X_{B}$ med $T(x_ {\max })=x_{\min }$ och, för alla $x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} } \neq x_{\max }$ definiera $\displaystyle T_{B }(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots )=(y_{1},\dots,y_{k},x_{k+1},\dots) }$ , där $k$ är det första indexet för vilket $x_{k}$ inte är maximal och därför låter $(y_{1},\ prickar ,y_{k})$ är den unika sökvägen för vilken $y_{1},\dots ,y_{k-1}$ alla är maximala och $y_{k}$ är efterföljaren till $x_{k}$ . Då är $T_{B}$ homeomorfism av $X_{B}$ .

Låt $P=\left(P^{(1)},P^{(2)},\dots \right)$ vara en sekvens av stokastiska matriser ${\displaystyle P^{(n)}=\left(p_{(v,e)\ i V^{n-1}\ gånger E^{(}n)}^{(n)}\right)} så att$ p $\displaystyle p_{v,e}^{( n)}>0}$ om och endast om $v=s_{n}(e)$ . Definiera "Markov-mått" på cylindrarna i $X_{B}$ med $\mu _{P}([e_{1},\dots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}), e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}$ . Då ${\displaystyle \left(X_{B},{\mathcal {B}},\mu _{P},T_{B}\right)$ systemet } kallas "Markov-vägmätare".

Man kan visa att den icke-singulara vägmätaren är en Markov-vägmätare där alla $V^{(n)}$ är singlar.

Se även

• Abelisk sandhög modell

Vidare läsning

•   Aaronson, J. (1997). En introduktion till oändlig ergodisk teori . Matematiska undersökningar och monografier. Vol. 50. American Mathematical Society . s. 25–32. ISBN 9781470412814 .
•    Dooley, Anthony H. (2003). "Markov vägmätare". I Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (red.). Ämnen inom dynamik och ergodisk teori. Enkätrapporter och minikurser presenterade vid den internationella konferensen och den amerikansk-ukrainska workshopen om dynamiska system och ergodisk teori, Katsiveli, Ukraina, 21–30 augusti 2000 . Lond. Matematik. Soc. Lect. Notera Ser. Vol. 310. Cambridge: Cambridge University Press . s. 60–80. ISBN 0-521-53365-1 . Zbl 1063.37005 .