Marginal stabilitet
I teorin om dynamiska system och kontrollteori är ett linjärt tidsinvariant system marginellt stabilt om det varken är asymptotiskt stabilt eller instabilt . Grovt sett är ett system stabilt om det alltid återvänder till och förblir nära ett visst tillstånd (kallat det stabila tillståndet ), och är instabilt om det går längre och längre bort från något tillstånd, utan att vara avgränsat. Ett marginellt system, ibland kallat med neutral stabilitet, är mellan dessa två typer: när det förskjuts återgår det inte till nära ett vanligt stabilt tillstånd, och det försvinner inte heller från där det började utan gränser.
Marginal stabilitet, liksom instabilitet, är en egenskap som kontrollteorin försöker undvika; vi önskar att ett system kommer att återgå till ett önskat tillstånd när det störs av någon yttre kraft. Detta kräver användning av lämpligt utformade kontrollalgoritmer.
Inom ekonometri kan närvaron av en enhetsrot i observerade tidsserier , vilket gör dem marginellt stabila, leda till ogiltiga regressionsresultat avseende effekterna av de oberoende variablerna på en beroende variabel , om inte lämpliga tekniker används för att omvandla systemet till ett stabilt system.
Kontinuerlig tid
Ett homogent kontinuerligt linjärt tidsinvariant system är marginellt stabilt om och endast om den reella delen av varje pol ( egenvärde ) i systemets överföringsfunktion är icke-positiv , en eller flera poler har noll reell del och icke-noll imaginär del, och alla poler med noll reell del är enkla rötter (dvs. polerna på den imaginära axeln är alla olika från varandra). Om alla poler däremot har strikt negativa reella delar är systemet istället asymptotiskt stabilt. Om en eller flera poler har positiva reella delar är systemet instabilt.
Om systemet är i tillståndsrymdrepresentation kan marginell stabilitet analyseras genom att härleda Jordans normalform : om och endast om Jordan-blocken som motsvarar poler med noll reell del är skalära är systemet marginellt stabilt.
Diskret tid
Ett homogent diskret tidslinjärt tidsinvariant system är marginellt stabilt om och endast om den största magnituden av någon av polerna (egenvärden) för överföringsfunktionen är 1, och polerna med magnituden lika med 1 är alla distinkta. Det vill säga att överföringsfunktionens spektralradie är 1. Om spektralradien är mindre än 1 är systemet istället asymptotiskt stabilt.
linjär differensekvation av första ordningen : Antag att en tillståndsvariabel x utvecklas enligt
med parameter a > 0. Om systemet störs till värdet är dess efterföljande sekvens av värden Om a < 1 kommer dessa siffror närmare och närmare 0 oavsett startvärdet medan om a > 1 blir talen större och större utan gräns. Men om a = 1 gör siffrorna inget av dessa: istället är alla framtida värden på x lika med värdet uppvisar fallet a = 1 marginell stabilitet.
Systemsvar
Ett marginellt stabilt system är ett som, om det ges en impuls av ändlig storlek som ingång, inte kommer att "spränga" och ge en obegränsad utgång, men inte heller kommer utgången att återgå till noll. En avgränsad offset eller oscillationer i utsignalen kommer att kvarstå på obestämd tid, och därför kommer det i allmänhet inte att finnas någon slutlig utsignal i stationärt tillstånd. Om ett kontinuerligt system ges en ingång med en frekvens som är lika med frekvensen för en pol med noll reell del, kommer systemets utsignal att öka på obestämd tid (detta är känt som ren resonans). Detta förklarar varför för att ett system ska vara BIBO-stabilt måste de verkliga delarna av polerna vara strikt negativa (och inte bara icke-positiva).
Ett kontinuerligt system med imaginära poler, dvs med noll reell del i polen/polerna, kommer att producera ihållande svängningar i utsignalen. Till exempel, ett odämpat andra ordningens system som fjädringssystemet i en bil (ett mass-fjäder-dämparsystem ), från vilket dämparen har tagits bort och fjädern är idealisk, dvs ingen friktion finns där, kommer i teorin att svänga för alltid en gång störd. Ett annat exempel är en friktionsfri pendel . Ett system med en pol i origo är också marginellt stabilt men i detta fall blir det ingen svängning i responsen då den imaginära delen också är noll ( jw = jw = 0 means w = 0 rad/sec). An example of such a system is a mass on a surface with friction. When a sidewards impulse is applied, the mass will move and never returns to zero. The mass will come to rest due to friction however, and the sidewards movement will remain bounded.
Eftersom placeringen av marginalpolerna måste vara exakt på den imaginära axeln eller enhetscirkeln (för kontinuerliga tids- respektive diskreta tidssystem) för att ett system ska vara marginellt stabilt, är det osannolikt att denna situation inträffar i praktiken om inte marginalstabilitet är en inneboende teoretisk funktion i systemet.
Stokastisk dynamik
Marginal stabilitet är också ett viktigt begrepp i samband med stokastisk dynamik . Till exempel kan vissa processer följa en slumpmässig promenad , givet i diskret tid som
där är en iid- felterm . Denna ekvation har en enhetsrot (ett värde på 1 för egenvärdet för dess karakteristiska ekvation ) och uppvisar därför marginell stabilitet, så speciella tidsserietekniker måste användas för att empiriskt modellera ett system som innehåller en sådan ekvation.
Marginalt stabila Markov-processer är de som har noll återkommande klasser.