Mardens teorem

En triangel och dess Steiner-ellips. Nollorna för p ( z ) är de svarta prickarna, och nollorna för p' ( z ) är de röda prickarna). Den centrala gröna punkten är nollan av p "( z ) . Mardens sats säger att de röda prickarna är ellipsens fokus.

Inom matematiken ger Mardens sats , uppkallad efter Morris Marden men bevisad cirka 100 år tidigare av Jörg Siebeck, ett geometriskt samband mellan nollorna i ett tredjegradspolynom med komplexa koefficienter och nollorna i dess derivata . Se även geometriska egenskaper hos polynomrötter .

Påstående

Ett kubiskt polynom har tre nollor i det komplexa talplanet, som i allmänhet bildar en triangel, och Gauss–Lucas-satsen säger att rötterna till dess derivata ligger inom denna triangel. Mardens teorem anger deras placering inom denna triangel mer exakt:

Antag att nollorna z 1 , z 2 och z 3 i ett tredjegradspolynom p ( z ) är icke-kollinjära. Det finns en unik ellips inskriven i triangeln med hörn z 1 , z 2 , z 3 och tangent till sidorna vid deras mittpunkter : Steiner - inellipsen . Foci för den ellipsen är nollorna för derivatan p ' ( z ) .

Ytterligare relationer mellan rotplatser och Steiner-inellipsen

Enligt Gauss–Lucas sats måste roten av dubbelderivatan p "( z ) vara medelvärdet av de två brännpunkterna, vilket är ellipsens mittpunkt och triangelns tyngdpunkt . I det speciella fallet att triangeln är liksidig (som händer t.ex. för polynomet p ( z ) = z 3 − 1 ) blir den inskrivna ellipsen en cirkel, och derivatan av p har en dubbelrot i cirkelns mitt. Omvänt, om derivatan har en dubbelrot, då måste triangeln vara liksidig ( Kalman 2008a) .

Generaliseringar

En mer allmän version av satsen, på grund av Linfield (1920) , gäller polynom p ( z ) = ( z − a ) i ( z − b ) j ( z − c ) k vars grad i + j + k kan vara högre än tre, men som bara har tre rötter a , b , och c . För sådana polynom kan rötterna till derivatan hittas vid multipelrötterna av det givna polynomet (rötterna vars exponent är större än en) och vid brännpunkterna för en ellips vars tangenspunkter till triangeln delar dess sidor i förhållandena i : j , j : k och k : i .

En annan generalisering ( Parish (2006)) är till n -goner: vissa n -goner har en inre ellips som tangerar varje sida vid sidans mittpunkt. Mardens sats gäller fortfarande: foci för denna mittpunkt-tangenta inellips är nollor av derivatan av polynomet vars nollor är n -gonens hörn .

Historia

Jörg Siebeck upptäckte denna sats 81 år innan Marden skrev om den. Men Dan Kalman titulerade sin American Mathematical Monthly- uppsats "Mardens teorem" eftersom, som han skriver, "Jag kallar detta Mardens teorem eftersom jag först läste den i M. Mardens underbara bok".

Marden ( 1945 , 1966 ) tillskriver det som nu är känt som Mardens teorem till Siebeck (1864) och citerar nio artiklar som inkluderade en version av teoremet. Dan Kalman vann 2009 Lester R. Ford Award från Mathematical Association of America för sin 2008 uppsats i American Mathematical Monthly som beskriver teoremet.

Ett kort och elementärt bevis på Mardens teorem förklaras i lösningen av en övning i Fritz Carlsons bok ”Geometri” (på svenska, 1943).

Se även

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Marden%27s_theorem&oldid=1135379404 "