Malgrange-Zerners sats

Inom matematik visar Malgrange–Zerners sats (uppkallad efter Bernard Malgrange och Martin Zerner) att en funktion på $\mathbb {R} ^{n}$ som tillåter holomorf förlängning i varje variabel separat kan utökas, under vissa förhållanden , till en funktion holomorf i alla variabler tillsammans. Detta teorem kan ses som en generalisering av Bochners rörsats till funktioner definierade på rörliknande domäner vars bas inte är en öppen mängd.

Sats Låt

$X=\bigcup _{k=1}^{n}\mathbb { R} ^{k-1}\ gånger P\ gånger \mathbb {R} ^{nk},{\text{ där }}P=\mathbb {R} +i[0,1),$

och låt $W=$ konvext skrov av $X$ . Låt $f:X\to \mathbb {C}$ vara en lokalt begränsad funktion så att $f\in C^{\infty }(X)$ och att för vilken fast punkt som helst $(x_{1},\ldots ,x_{k-1} ,x_{k+1},\ldots ,x_{n})\i \mathbb {R} ^{n-1}$ funktionen ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k-1},z,x_{k+1},\ldots ,x_{n})} är holomorf$ i ${\ displaystyle z}$ i det inre av $P$ för varje $k=1,\ldots ,n$ . Då kan funktionen $f$ unikt utökas till en holomorf funktion i det inre av $W$ .

Historia

Enligt Henry Epstein bevisades detta teorem först av Malgrange 1961 (opublicerad), sedan av Zerner (som citeras i ), och kommunicerades till honom privat. Epsteins föreläsningar innehåller det första publicerade beviset (tillskrivet där till Broz, Epstein och Glaser). Antagandet $f\in C^{\infty }(X)$ mildrades senare till $f|_{\mathbb {R} ^{n}}\in C^{3}$ (se Ref.[1] i ) och slutligen till $f|_{\mathbb {R} ^{n}}\in C$ .