Malcev Lie algebra

Inom matematiken är en Malcev Lie-algebra , eller Mal'tsev Lie-algebra , en generalisering av en rationell nilpotent Lie-algebra , och Malcev-grupper liknar varandra. Båda introducerades av Quillen (1969 , Appendix A3), baserat på arbetet av ( Mal'cev 1949) .

Definition

Enligt Papadima & Suciu (2004) är en Malcev Lie-algebra en rationell Lie-algebra $L$ tillsammans med en komplett, fallande ${\mathbb {Q} }$ -vektorrymdfiltrering ${\displaystyle \{F_{r}L\}_{r\geq 1}} ,$ så att:

• $F_{1}L=L$
• $[F_{r}L,F_{s}L]\subset F_{r+s}L$
• den associerade graderade Lie-algebra $\oplus _{r\geq 1}F_{r}L/F_{r+1}L$ genereras av element av grad ett.

Ansökningar

Relation till Hopf algebras

Quillen (1969 , Appendix A3) visade att Malcev Lie-algebror och Malcev-grupper båda är ekvivalenta med kompletta Hopf-algebror , dvs Hopf-algebror H försedd med en filtrering så att H är isomorft till $\ varprojlim H/F_{n}H$ . Funktionerna som är involverade i dessa ekvivalenser är följande: en Malcev-grupp G mappas till fullbordandet (med avseende på förstärkningsidealet ) av dess gruppring Q G , med invers ges av gruppen av gruppliknande element i en Hopf-algebra H , i huvudsak dessa element 1 + x så att $\Delta (x)=x\otimes x$ . Från kompletta Hopf-algebror till Malcev Lie-algebror får man genom att ta (fullbordandet av) primitiva element , med invers funktion som ges av fullbordandet av den universella omslutande algebra .

Denna ekvivalens av kategorier användes av Goodwillie (1986) för att bevisa att, efter tensoring med Q , är relativ K -teori K( A , I ), för ett nilpotent ideal I , isomorf till relativ cyklisk homologi HC( A , I ). Detta teorem var ett banbrytande resultat inom området för spårningsmetoder.

Hodge teori

Malcev Lie algebror uppstår också i teorin om blandade Hodge strukturer .

•   Goodwillie, Thomas G. (1986), "Relative algebraic K -theory and cyclic homology", Annals of Mathematics , Second Series, 124 (2): 347–402, doi : 10.2307/1971283 , JSTOR 1971283 , 530 530  
•    Mal'cev, AI (1949), "Nilpotenta vridningsfria grupper", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matemacheskaya , 13 : 201–212, ISSN 0373-2436 , MR 0028843
•    Papadima, Stefan; Suciu , Alexander I. (2004), "Chen Lie algebras", International Mathematics Research Notices , 2004 ( 21 ) : 1057–1086, arXiv : math/0307087 , doi : 10.1155/S1073792804132,073792804132,073792804132,07-21 IS 7049
•    Quillen, Daniel (1969) , "Rational homotopy theory", Annals of Mathematics , Second Series, 90 (2): 205–295, doi : 10.2307/1970725 , ISSN 0003-486X , JSTOR 19700725 02 , 8