Magnetisk strålningsreaktionskraft

Den magnetiska strålningsreaktionskraften är en kraft på en elektromagnet när dess magnetiska moment ändras. Man kan härleda en elektrisk strålningsreaktionskraft för en accelererande laddad partikel orsakad av att partikeln avger elektromagnetisk strålning . På samma sätt kan en magnetisk strålningsreaktionskraft härledas för ett accelererande magnetiskt moment som avger elektromagnetisk strålning .

I likhet med den elektriska strålningsreaktionskraften måste tre villkor vara uppfyllda för att härleda följande formel för den magnetiska strålningsreaktionskraften. För det första måste det magnetiska momentets rörelse vara periodisk, ett antagande som används för att härleda kraften. För det andra rör sig det magnetiska momentet med icke-relativistiska hastigheter (det vill säga mycket långsammare än ljusets hastighet) . Slutligen, detta gäller bara denna kraft är proportionell mot den femte derivatan av positionen som en funktion av tiden (ibland något facettiskt kallad "Kracklet"). Till skillnad från Abraham-Lorentz-kraften pekar kraften i motsatt riktning av "Kracklet".

Definition och beskrivning

Matematiskt ges den magnetiska strålningsreaktionskraften av, i SI-enheter:

\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }=-{\frac {\mu _{0}q ^{2}R}{24\pi c^{3}}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {a}}}{\mathrm {d} t^{3}} }

var:

$F$ är kraften,
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {a}}}{\mathrm {d} t^{3}}}} är$ popen (den tredje derivatan av acceleration , eller femte derivatan av förskjutning ),
$μ 0$ är permeabiliteten för fritt utrymme ,
$c$ är ljusets hastighet i fritt utrymme
$q$ är partikelns elektriska laddning .
$R$ är radien för det magnetiska momentet

Observera att denna formel endast gäller för icke-relativistiska hastigheter.

Fysiskt avger ett tidsföränderligt magnetiskt moment strålning som liknar Larmors formel för en accelererande laddning. Eftersom momentum bevaras, skjuts det magnetiska momentet i motsatt riktning mot den utsända strålningen. Faktum är att formeln ovan för strålningskraft kan härledas från den magnetiska versionen av Larmor-formeln, som visas nedan .

Bakgrund

Inom klassisk elektrodynamik är problemen vanligtvis uppdelade i två klasser:

Problem där fältens laddning och strömkällor specificeras och fälten beräknas, och
Den omvända situationen, problem där fälten specificeras och partiklarnas rörelse beräknas.

Inom vissa fysikområden, såsom plasmafysik och beräkning av transportkoefficienter (konduktivitet, diffusivitet, etc.), löses de fält som genereras av källorna och källornas rörelse självständigt. I sådana fall beräknas emellertid rörelsen för en vald källa som svar på fält som genereras av alla andra källor. Sällan beräknas rörelsen hos en partikel (källa) på grund av de fält som genereras av samma partikel. Anledningen till detta är tvåfaldig:

Försummelse av " självfälten " leder vanligtvis till svar som är tillräckligt korrekta för många applikationer, och
Inkludering av självfält leder till problem i fysiken såsom renormalisering , av vilka några fortfarande är olösta, som relaterar till själva materiens och energins natur.

Dessa konceptuella problem som skapas av självfält framhävs i en standardtext för examen. [Jackson]

Svårigheterna med detta problem rör en av de mest grundläggande aspekterna av fysiken, elementarpartikelns natur. Även om dellösningar, genomförbara inom begränsade områden, kan ges, förblir det grundläggande problemet olöst. Man kan hoppas att övergången från klassisk till kvantmekanisk behandling skulle undanröja svårigheterna. Även om det fortfarande finns hopp om att detta så småningom kan inträffa, är de nuvarande kvantmekaniska diskussionerna behäftade med ännu mer utarbetade problem än de klassiska. Det är en av de senaste årens triumfer (~1948–1950) att begreppen Lorentz-kovarians och mätinvarians utnyttjades tillräckligt skickligt för att kringgå dessa svårigheter inom kvantelektrodynamiken och på så sätt möjliggöra beräkningen av mycket små strålningseffekter med extremt hög precision , i full överensstämmelse med experimentet. Ur grundläggande synvinkel kvarstår dock svårigheterna.

Den magnetiska strålningsreaktionskraften är resultatet av den mest fundamentala beräkningen av effekten av självgenererade fält. Det härrör från observationen att accelererande icke-relativistiska partiklar med tillhörande magnetiska moment avger strålning. Abraham-Lorentz-kraften är den genomsnittliga kraft som en accelererande laddad partikel känner i rekylen från strålningsemissionen. Införandet av kvanteffekter leder till kvantelektrodynamik . Självfälten i kvantelektrodynamiken genererar ett ändligt antal oändligheter i beräkningarna som kan tas bort genom renormaliseringsprocessen . Detta har lett till en teori som kan göra de mest exakta förutsägelser som människor har gjort hittills. Se precisionstester av QED . Renormaliseringsprocessen misslyckas dock när den appliceras på gravitationskraften . Oändligheterna är i så fall oändliga till antalet, vilket orsakar att renormaliseringen misslyckas. Därför generell relativitetsteori olösta självfältsproblem. Strängteori är ett aktuellt försök att lösa dessa problem för alla krafter.

Härledning

Vi börjar med Larmor-formeln för strålning av andraderivatan av ett magnetiskt moment med avseende på tid:

P={\frac {\mu _{0}{\ddot {m}}^{2}}{6\pi c^{3}}}.

I det fall att det magnetiska momentet produceras av en elektrisk laddning som rör sig längs en cirkulär bana

\mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\,q\,\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,

där

\mathbf {r}

är positionen för laddningen

q

i förhållande till cirkelns mitt och

\mathbf {v}

är laddningens momentana hastighet.

Ovanstående Larmor-formel blir som följer:

P={\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}{\dot {a}}^{2}}{24\pi c^{3}}}.

Om vi antar att rörelsen hos en laddad partikel är periodisk, så är det genomsnittliga arbetet som utförs på partikeln av Abraham–Lorentz-kraften det negativa av Larmor-kraften integrerad över en period från τ 1 {\displaystyle \tau $}$ till $\tau _{2}$ :

\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\ tau _{1}}^{\tau _{2}}-Pdt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q ^{2}r^{2}{\dot {a}}^{2}}{24\pi c^{3}}}dt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt }}\cdot {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}dt.

Lägg märke till att vi kan integrera uttrycket ovan med delar. Om vi antar att det finns periodisk rörelse försvinner gränstermen i integralen med delar:

\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac { \mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {a} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d^{2}\mathbf {a} }{dt^{2}}}\ cdot \mathbf {a} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2 }}{24\pi c^{3}}}\mathbf {\ddot {a}} \cdot \mathbf {a} dt.

Att integrera med delar en andra gång, finner vi

\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac { \mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {a} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c ^{3}}}{\frac {d^{3}\mathbf {v} }{dt^{3}}}\cdot \mathbf {v} {\bigg |}_{\tau _{1}} ^{\tau _{2}}-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2} }{24\pi c^{3}}}{\frac {d^{3}\mathbf {a} }{dt^{3}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+0-\ int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}} }{\frac {d^{3}\mathbf {a} }{dt^{3}}}\cdot \mathbf {v} dt.

Det är klart att vi kan identifiera

\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }=-{\frac {\mu _{0}q^{2}r^{2}}{24\pi c^{3}}} {\frac {d^{3}\mathbf {a} }{dt^{3}}}.

Signaler från framtiden

Nedan visas en illustration av hur en klassisk analys kan leda till överraskande resultat. Den klassiska teorin kan ses utmana standardbilder av kausalitet, vilket signalerar antingen ett sammanbrott eller ett behov av förlängning av teorin. I detta fall är utvidgningen till kvantmekaniken och dess relativistiska motsvarighet kvantfältteori . Se citatet från Rohrlich i inledningen angående "vikten av att lyda en fysikalisk teoris giltighetsgränser".

För en partikel i en yttre kraft $\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }$ har vi

m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {F} _{\mathrm { rad} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=mt_{0}{\ddot {\mathbf {v} }}+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} },

var

t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}.

Denna ekvation kan integreras en gång för att erhålla

m{\dot {\mathbf {v} }}={1 \over t_{0}}\int _{t}^{\infty }\exp \left(-{t'-t \over t_ {0}}\right)\,\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }(t')\,dt'.

Integralen sträcker sig från nuet till oändligt långt i framtiden. Sålunda påverkar framtida värden på kraften partikelns acceleration i nuet. De framtida värdena viktas med faktorn

\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)

som faller av snabbt för tider större än

t_{0}

i framtiden. Därför påverkar signaler från ett intervall ungefär

t_{0}

in i framtiden accelerationen i nuet. För en elektron är denna tid ungefär

10^{-24}

sek, vilket är den tid det tar för en ljusvåg att färdas över en elektrons "storlek".

Se även

Vidare läsning

Griffiths, David J. (1998). Introduktion till elektrodynamik (3:e uppl.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X . Se avsnitt 11.2.2 och 11.2.3
Jackson, John D. (1998). Klassisk elektrodynamik (3:e uppl.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X . \
Jose A. Heras, The Radiation Force of an Electron Reexamined , 2003, http://www.joseheras.com/jheras_papers/JAH-PAPER_16.pdf .
Donald H. Menzel, Fundamental Formulas of Physics , 1960, Dover Publications Inc., ISBN 0-486-60595-7 , vol. 1, sid 345.

externa länkar