Mångfald (matematik)

Inom matematiken är en mångfald en generalisering av begreppet metriskt utrymme . Konceptet introducerades 2012 av Bryant och Tupper, som kallar mångfald "en form av multi-way metric". Konceptet finner tillämpning i olinjär analys.

Givet en mängd $X$ , låt $\wp _{\mbox{fin}}(X)$ vara mängden ändliga delmängder av $X$ . En diversitet är ett par $(X,\delta )$ som består av en mängd $X$ och en funktion $\delta \colon \ wp _{\mbox{fin}}(X)\to \mathbb {R}$ uppfyller

(D1) $\delta (A)\geq 0$ , med $\delta (A)=0$ om och endast om $\left|A\right|\leq 1$ ; och
(D2) om $B\neq \emptyset$ så $\delta (A\cup C)\leq \delta (A\kopp B)+\delta (B\kopp C)$ .

Bryant och Tupper observerar att dessa axiom antyder monotoni; det vill säga om $A\subseteq B$ , då $\delta (A)\leq \delta (B)$ . De säger att termen "mångfald" kommer från utseendet på ett specialfall av deras definition i arbetet med fylogenetiska och ekologiska mångfald. De ger följande exempel:

Diameter mångfald

Låt $(X,d)$ vara ett metriskt mellanslag. Inställning $\delta (A)=\max _{a,b\in A}d(a,b) =\operatörsnamn {diam} (A)$ för alla $A\in \wp _{\mbox{fin}}(X)$ definierar en mångfald.

$L_{1}$ mångfald

För alla finita $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ om vi definierar $\delta (A)=\summa _{i}\max _{a,b}\left\{\left|a_{i}-b_{i}\right|\ kolon a,b\i A\right\}$ då $(\mathbb {R} ^{n},\delta )$ är en mångfald.

Fylogenetisk mångfald

Om T är ett fylogenetiskt träd med taxonuppsättning X . För varje finit $A\subseteq X$ , definiera $\delta (A)$ som längden på det minsta underträdet av T som förbinder taxa i A . Då $(X,\delta )$ en (fylogenetisk) mångfald.

Steiners mångfald

Låt $(X,d)$ vara ett metriskt mellanslag. För varje ändlig $A\subseteq X$ , låt $\delta (A)$ beteckna den minsta längden av ett Steinerträd inom X anslutande element i A . Då $(X,\delta )$ en mångfald.

Trunkerad mångfald

Låt $(X,\delta )$ vara en mångfald. För alla $A\in \wp _{\mbox{fin}}(X)$ definiera $\delta ^{(k)}(A)=\max \left\{\delta (B)\colon |B|\leq k,B\subseteq A\right\}$ . Sedan om $k\geq 2$ , $(X,\delta ^{(k)})$ en mångfald.