Lozanićs triangel

Lozanićs triangel (kallas ibland Losanitschs triangel ) är en triangulär samling av binomialkoefficienter på ett sätt som liknar Pascals triangel . Den är uppkallad efter den serbiske kemisten Sima Lozanić , som undersökte den i sin undersökning av symmetrierna som uppvisas av rader av paraffiner (åldriga termer för alkaner ).

De första raderna i Lozanićs triangel är

1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 4 2 1 1 3 6 6 3 1 1 3 9 10 9 3 1 1 4 12 19 19 12 4 1 1 4 16 28 38 28 1 4 4 6 4 4 6 66 44 20 5 1 1 5 25 60 110 126 110 60 25 5 1 1 6 30 85 170 236 236 170 85 30 6 1 1 6 36 110 9 25 1 6 36 110 9 25 1 2 1 1 7 42 146 365 651 868 868 651 365 146 42 7 1 1 7 49 182 511 1001 1519 1716 1519 1001 511 182 49 7 1 1 8 56 231 693 1512 2520 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 56 8 1

listade i (sekvens A034851 i OEIS ).

Liksom Pascals triangel är ytterkantsdiagonalerna i Lozanićs triangel alla 1:or, och de flesta av de bifogade talen är summan av de två talen ovan. Men för tal på udda positioner k i jämna rader n (börjar numreringen för båda med 0), efter att ha lagt till de två talen ovan, subtraherar du talet på position ( k − 1)/2 i rad n /2 − 1 av Pascals triangel.

Diagonalerna bredvid kantdiagonalerna innehåller de positiva heltal i ordning, men med varje heltal angivet två gånger OEIS : A004526 .

När man rör sig inåt innehåller nästa par diagonaler "kvartsrutorna" ( OEIS : A002620 ), eller de sammanflätade kvadrattalen och proniska talen .

Nästa diagonalpar innehåller alkantalen l (6, n ) ( OEIS : A005993 ). Och nästa par diagonaler innehåller alkantalen l (7, n ) ( OEIS : A005994 ), medan nästa par har alkantalen l (8, n ) ( OEIS : A005995 ), sedan alkantalen l (9, n ) ) ( OEIS : A018210 ), sedan l (10, n ) ( OEIS : A018211 ), l (11, n ) ( OEIS : A018212 ), l (12, n ) ( OEIS : A018213 ), etc.

Summan av den n :te raden i Lozanićs triangel är $2^{n-2}+2^{\lfloor n/2\rfloor -1}$ ( OEIS : A005418 listar de första trettio värdena eller så).

Summorna av diagonalerna för Lozanićs triangel blandas ${F_{2n-1}+F_{n+1}} \över 2$ med ${F_{2n}+F_{n}} \over 2$ (där F _x är det x :te Fibonacci-talet ).

Som väntat, att lägga Pascals triangel över Lozanićs triangel och subtrahera ger en triangel med de yttre diagonalerna bestående av nollor ( OEIS : A034852 , eller OEIS : A034877 för en version utan nollorna). Denna speciella skillnadstriangel har tillämpningar i kemiska studier av katakondenserade polygonala system.

SM Losanitsch, Die Isomerie-Arten bei den Homologen der Paraffin-Reihe, Chem. Ber . 30 (1897), 1917 - 1926.
NJA Sloane, Classic Sequences