Loeb utrymme

Inom matematik är ett Loeb-utrymme en typ av måttutrymme som introducerats av Loeb ( 1975 ) med hjälp av icke-standardiserad analys .

Konstruktion

Loebs konstruktion börjar med en ändligt additiv karta $\nu$ från en intern algebra ${\mathcal {A}}$ av mängder till de icke-standardiserade realerna . Definiera $\mu$ som ska ges av standarddelen av $\nu$ , så att $\mu$ är en ändligt additiv karta från ${\mathcal {A}}$ till de utökade realerna ${\overline {\mathbb {R} }}$ . Även om ${\mathcal {A}}$ är en icke-standardiserad $\sigma$ -algebra , behöver inte algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}} vara en vanlig$ $\sigma$ -algebra eftersom den vanligtvis inte är stängd under räknebara fackföreningar. Istället har algebra ${\mathcal {A}}$ egenskapen att om en mängd i den är föreningen av en räkningsbar familj av element av ${\displaystyle {\mathcal {A}}} ,$ då mängden är föreningen av ett ändligt antal element i familjen, så i synnerhet varje ändligt additiv karta (som $\mu$ ) från ${\mathcal {A}}$ till de utökade realerna är automatiskt tillsats. Definiera ${\mathcal {M}}$ till $\sigma$ -algebra som genereras av ${\mathcal {A}}$ . Sedan, med Carathéodorys förlängningssats, sträcker sig måttet $\mu$ på ${\mathcal {A}}$ till ett räknat additivt mått på ${\mathcal {M}}$ , kallad en Loeb mäta.

Cutland, Nigel J. (2000), Loeb measures in practice: recent advances , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1751, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b76881 , ISBN 978-3-540-41384-4 , MR 1810844
Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals , Graduate Texts in Mathematics, vol. 188, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0615-6 , ISBN 978-0-387-98464-3 , MR 1643950
Loeb, Peter A. (1975). "Konvertering från icke-standardiserade till standardmåttutrymmen och tillämpningar i sannolikhetsteori" . Transaktioner från American Mathematical Society . 211 : 113–22. doi : 10.2307/1997222 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1997222 . MR 0390154 – via JSTOR .

externa länkar

Hemsida för Peter Loeb