Plan-plan skärning

Två skärande plan i tredimensionellt utrymme

I analytisk geometri är skärningspunkten mellan två plan i tredimensionellt utrymme en linje .

Formulering

Skärningslinjen mellan två plan $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{ 1}$ och $\Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}$ där ${\boldsymbol {n}}_{i}$ är normaliserade ges av

{\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+ c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2})+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})

var

c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2 })^{2}}}

c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1 -({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}.

Härledning

Detta hittas genom att lägga märke till att linjen måste vara vinkelrät mot båda plannormalerna och så parallellt med deras korsprodukt ${\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n} }_{2}$ (denna korsprodukt är noll om och endast om planen är parallella och därför inte skär varandra eller helt sammanfaller).

Resten av uttrycket kommer man fram till genom att hitta en godtycklig punkt på linjen. För att göra det, tänk på att vilken punkt som helst i rymden kan skrivas som ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{ \boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}} _{2})$ , eftersom $\{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2 },({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})\}$ är en grund . Vi vill hitta en punkt som är på båda planen (dvs i deras skärningspunkt), så infoga denna ekvation i var och en av ekvationerna för planen för att få två samtidiga ekvationer som kan lösas för c 1 {\displaystyle $}$ och $c_{2}$ .

Om vi vidare antar att ${\boldsymbol {n}}_{1}$ och ${\boldsymbol {n}}_{2}$ är ortonormala så är den närmaste punkten på linjen av skärningspunkten till origo är ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2 }{\boldsymbol {n}}_{2}$ . Om så inte är fallet måste ett mer komplicerat förfarande användas.

Dihedral vinkel

Givet två skärande plan som beskrivs av $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1} z+d_{1}=0$ och $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+ c_{2}z+d_{2}=0$ , den dihedriska vinkeln mellan dem definieras som vinkeln $\alpha$ mellan deras normala riktningar:

\cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1} ||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{ \sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{ 2}+c_{2}^{2}}}}}.