Liñáns ekvation

I studiet av diffusionsflamma är Liñáns ekvation en andra ordningens ickelinjär vanlig differentialekvation som beskriver diffusionsflammans inre struktur, först härledd av Amable Liñán 1974. Ekvationen lyder som

${\frac {d^{2}y}{d\zeta ^{2}} }=(y^{2}-\zeta ^{2})e^{-\delta ^{-1/3}(y+\gamma \zeta )}$

underkastad gränsvillkoren

${\begin{aligned}\zeta \rightarrow -\infty :&\quad {\frac {dy}{ d\zeta }}=-1,\\\zeta \rightarrow \infty :&\quad {\frac {dy}{d\zeta }}=1\end{aligned}}$

där $\delta$ är det reducerade eller omskalade Damköhler-talet och $\gamma$ är förhållandet mellan överskottsvärme som leds till en sida av reaktionsarket och den totala värme som genereras i reaktionszonen. Om $\gamma >0$ transporteras mer värme till oxidatorsidan, vilket minskar reaktionshastigheten på oxidatorsidan (eftersom reaktionshastigheten beror på temperaturen) och följaktligen kommer större mängd bränsle att läcka in i oxidationsmedelssidan. Om $\gamma <0$ transporteras mer värme till diffusionslågans bränslesida, vilket minskar reaktionshastigheten på flammans bränslesida och ökar oxidationsmedelsläckaget till bränslesidan. När $\gamma \rightarrow 1$${\displaystyle (\gamma \rightarrow -1)} ,$ transporteras all värme till oxidatorsidan (bränsle) och därför håller lågan extremt stor mängd bränsle (oxidationsmedel) läckage.

Ekvationen är, i vissa aspekter, universell (även kallad som diffusionsflammans kanoniska ekvation) eftersom även om Liñán härledde ekvationen för stagnationspunktsflödet , med antagande av enhets Lewis-tal för reaktanterna, har samma ekvation visat sig representera den inre strukturen för allmänna laminära flameletter, med godtyckliga Lewis-nummer.

Förekomsten av lösningar

Nära diffusionsflammans utsläckning är $\delta$ ordningsenhet. Ekvationen har ingen lösning för ${\displaystyle \delta <\delta _{E}} ,$ där $\delta _{E}$ är extinktions-Damköhlertalet. För $\delta >\delta _{E}$ med $|\gamma |<1$ , ekvationen har två lösningar, varav en är en instabil lösning. Unik lösning finns om $|\gamma |>1$ och $\delta >\delta _{E}$ . Lösningen är unik för $\delta >\delta _{I}$ , där $\delta _{I}$ är tändningsnumret för Damköhler.

Liñán gav också en korrelationsformel för utsläckningstalet Damköhler, som blir allt mer exakt för $1-\gamma \ll 1$ ,

$\delta _{E}=e[(1-\gamma )-(1-\gamma )^{2}+0.26(1-\gamma )^{3}+0.055(1-\gamma )^ {4}].$

Generaliserade Liñáns ekvation

Den generaliserade Liñáns ekvation ges av

${\frac {d^{2}y}{d\zeta ^{2}}}=(y-\zeta )^{m}(y+\zeta )^{n}e^{-\delta ^{-1/3}(y+\gamma \zeta )}$

där $m$ och $n$ är konstanta reaktionsordningar av bränsle respektive oxidationsmedel.

Stor Damköhler antal gräns

I Burke–Schumann-gränsen , $\delta \rightarrow \infty$ . Sedan minskar ekvationen till

${\frac {d^{2}y}{d\ zeta ^{2}}}=(y-\zeta )^{m}(y+\zeta )^{n},\quad \zeta \rightarrow \pm \infty :\,{\frac {dy}{d\ zeta }}=\pm 1.$

En ungefärlig lösning på denna ekvation utvecklades av Liñán själv med hjälp av integralmetod 1963 för sin avhandling,

$y( \zeta )=y_{m}+(\zeta -\zeta _{m})\operatörsnamn {erf} [k(\zeta -\zeta _{m})]-{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}k}}\vänster[1-e^{-k^{2}(\zeta -\zeta _{m})^{2}}\höger],$

där $\mathrm {erf}$ är felfunktionen och

${\begin{aligned}\zeta _{m}&={\frac {nm}{n+m}}y_{m},\\y_{m}&={\frac {m+n} {2}}\left[{\frac {2}{\pi m^{2}n^{2}}}\left({\sqrt {1+{\frac {\pi (m+n)}{ 2mn}}}}-1\right)\right]^{\frac {1}{m+n+1}},\\k&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}m^ {m}n^{n}\left({\frac {2y_{m}}{m+n}}\right)^{m+n}.\end{aligned}}$

Här är $\zeta =\zeta _{m}$ platsen där $y(\zeta )$ når sitt lägsta värde $y(\zeta _{m})=y_{m}$ . När $m=n=1$ , $\zeta _{m}=0$ , $y_{m}=0,8702$ och $k=0,6711$ .

Se även

• Liñáns diffusionslågateori