Levitzkys teorem

Inom matematiken , mer specifikt ringteorin och teorin om nollideal , säger Levitzkys teorem , uppkallad efter Jacob Levitzki , att i en rätt Noether-ring är varje noll ensidig ideal nödvändigtvis nollpotent . Levitzkys teorem är ett av de många resultat som tyder på sanningshalten i Köthe-förmodan , och gav faktiskt en lösning på en av Köthes frågor som beskrivs i ( Leitzki 1945 ). Resultatet lämnades ursprungligen in 1939 som ( Lewitzki 1950 ), och ett särskilt enkelt bevis gavs i ( Utumi 1963 ).

Bevis

Detta är Utumis argument som det visas i ( Lam 2001 , s. 164-165)

Lemma

Antag att R uppfyller det stigande kedjevillkoret på annihilatorer av formen $\{r\in R\mid ar=0\}$ där a står i R . Sedan

Alla noll ensidiga ideal finns i den nedre noll radikalen Nol _* ( R );
Varje noll noll rätt ideal innehåller ett noll noll rätt ideal.
Varje icke-noll noll vänsterideal innehåller ett icke-noll-nilpotent vänsterideal.

Levitzkis sats

Låt R vara en rätt Noetherisk ring. Då är varje noll ensidig ideal av R nollpotent. I det här fallet är de övre och nedre nilradikalerna lika, och dessutom är detta ideal det största nilpotenta idealet bland nilpotenta högerideal och bland nilpotenta vänsterideal.

Bevis : Med tanke på föregående lemma är det tillräckligt att visa att den nedre nilradikalen i R är nilpotent. Eftersom R är rätt Noetherian existerar ett maximalt nilpotent ideal N. Genom maximaliteten av N har kvotringen R / N inga nilpotenta ideal som inte är noll, så R / N är en semiprime ring . Som ett resultat N den lägre nilradikalen av R . Eftersom den lägre nilradikalen innehåller alla nilpotenta ideal, innehåller den också N , och så är N lika med den lägre nilradikalen. QED

Se även

Anteckningar

Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, a graduate course (1:a upplagan), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
Herstein, IN (1968), Noncommutative rings (1:a upplagan), The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-015-X
Lam, TY (2001), A First Course in Noncommutative Rings , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95183-6
Levitzki, J. (1950), "Om multiplikativa system" , Compositio Mathematica , 8 : 76–80, MR 0033799 .
Levitzki, Jakob (1945), "Solution of a problem of G. Koethe", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 67 (3): 437–442, doi : 10.2307/2371958 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371958 , MR 0012269
Utumi, Yuzo (1963), "Mathematical Notes: A Theorem of Levitzki", The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 70 (3): 286, doi : 10.2307/2313127 , hdl : 10338.dmlcz / 4021 IS -9890 , JSTOR 2313127 , MR 1532056