Lemoines problem
Inom matematik är Lemoines problem ett visst konstruktionsproblem i elementär plangeometri som ställdes av den franske matematikern Émile Lemoine (1840–1912) 1868. Problemet publicerades som fråga 864 i Nouvelles Annales de Mathématiques ( Serie 2, Volym 7 (1868) , sid 191). Det främsta intresset för problemet är att en diskussion om lösningen av problemet av Ludwig Kiepert publicerad i Nouvelles Annales de Mathématiques (serie 2, volym 8 (1869), s. 40–42) innehöll en beskrivning av en hyperbel som nu är känd som Kiepert-hyperbeln.
Redogörelse av problemet
Frågan publicerad av Lemoine ställer till följande konstruktionsproblem:
- Med tanke på en vertex av var och en av de liksidiga trianglarna placerade på sidorna av en triangel , konstruera den ursprungliga triangeln.
Ludwig Kieperts lösning
Kiepert fastställer giltigheten av sin konstruktion genom att bevisa några lemman .
- Problem
- Låt A 1 , B 1 , C 1 vara hörnen på de liksidiga trianglarna placerade på sidorna av en triangel ABC . Givet Ai , B1 , C1 konstruktion A , B , C. _ _ _ _
- Lemma 1
- Om man på de tre sidorna av en godtycklig triangel ABC beskriver liksidiga trianglar ABC 1 , ACB 1 , BCA 1 , då är linjestyckena AA 1 , BB 1 , C C 1 lika, de överensstämmer i en punkt P , och vinklarna de bildar varandra är lika med 60°.
- Lemma 2
- Om man på A 1 B 1 C 1 gör samma konstruktion som den på ABC , kommer det att ha tre liksidiga trianglar A 1 B 1 C 2 , A 1 C 1 B 2 , B 1 C 1 A 2 , tre lika linjer segmenten A 1 A 2 , B 1 B 2 , C 1 C 2 , vilket också kommer att överensstämma i punkten P .
- Lemma 3
- A , B , C är respektive mittpunkterna för A 1 A 2 , B 1 B 2 , C 1 C 2 .
-
Lösning
- Beskriv på segmenten A 1 B 1 , A 1 C 1 , B 1 C 1 de liksidiga trianglarna A 1 B 1 C 2 , A 1 C 1 B 2 , B 1 C 1 A 2 .
- Mittpunkterna för A 1 A 2 , B 1 B 2 , C 1 C 2 är respektive hörn A , B , C i den önskade triangeln.
Andra lösningar
Flera andra personer förutom Kiepert lämnade in sina lösningar under 1868–9, inklusive herrarna Williere (i Arlon), Brocard, Claverie (Lycee de Clermont), Joffre (Lycee Charlemagne), Racine (Lycee de Poitiers), Augier (Lycee de Caen). ), V. Niebylowski och L. Henri Lorrez. Kieperts lösning var mer komplett än de andra.