Legendres relation

I matematik kan Legendres relation uttryckas i endera av två former: som en relation mellan kompletta elliptiska integraler eller som en relation mellan perioder och kvasiperioder av elliptiska funktioner . De två formerna är ekvivalenta eftersom perioderna och kvasiperioderna kan uttryckas i termer av kompletta elliptiska integraler. Den introducerades (för fullständiga elliptiska integraler) av AM Legendre ( 1811 , 1825 , s. 61).

Kompletta elliptiska integraler

Legendres förhållande som anges med hjälp av kompletta elliptiska integraler är

$K'E+KE'-KK'={\frac {\pi }{2}}$

där K och K ′ är de fullständiga elliptiska integralerna av det första slaget för värden som uppfyller k ² + k ′ ² = 1 , och E och E ′ är de fullständiga elliptiska integralerna av det andra slaget.

Denna form av Legendres relation uttrycker det faktum att Wronskian för de fullständiga elliptiska integralerna (betraktade som lösningar av en differentialekvation) är en konstant.

Elliptiska funktioner

Legendres förhållande som anges med elliptiska funktioner är

$\omega _{2}\eta _{1}-\omega _{1}\eta _{2}=2\pi i\,$

där ω ₁ och ω ₂ är perioderna för Weierstrass elliptiska funktion och η ₁ och η ₂ är kvasiperioderna för Weierstrass zetafunktion . Vissa författare normaliserar dessa på ett annat sätt och skiljer sig med faktorerna 2, i vilket fall den högra sidan av Legendre-relationen är π i eller π i / 2. Detta samband kan bevisas genom att integrera Weierstrass zetafunktion om gränsen för en fundamental region och tillämpa Cauchys restsats .

Bevis

Bevis på det lemniskatiska fallet

Den lemniskatiska bågen och den komplementära lemniskatiska bågen definieras enligt följande:

$\operatorname {arcsl} (r)=\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )} -{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{ \bigr ]}$

$\operatorname {arcsl} ^{*}(r)=\int _{0}^{r}{\frac {1+\rho ^{2}}{\sqrt {1-\ rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\sqrt {2}}\,E{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}} {\bigr )}-{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}$

Och dessa derivat är giltiga:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatörsnamn {arcsl} (r)={\frac {1 }{\sqrt {1-r^{4}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatörsnamn {arcsl} ^{*}(r)={\frac {1+r^{2}}{ \sqrt {1-r^{4}}}}={\biggl (}{\frac {1+r^{2}}{1-r^{2}}}{\biggr )}^{1/ 2}$

Det lemniskatiska fallet för Legendre Identity kan visas på detta sätt:

Följande formel ges, som använder lemniskatiska bågfunktioner som antiderivat:

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatörsnamn {arcsl} ^{*}(x)-{\frac {1-x^{2}}{\ sqrt {1-x^{4}}}}\operatörsnamn {arcsl} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)} {\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} y$

Genom att konstruera den ursprungliga antiderivatan i förhållande till x visas denna formel:

$\operatörsnamn {arcsl} (x){\bigl [}\operatörsnamn {arcsl} ^{*}(x)-\operatörsnamn {arcsl} (x){\bigr ]}=\int _ {0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}{\biggl [}\operatörsnamn {artanh} (y^{2})-\operatörsnamn {artanh} {\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}} }}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y$

Genom att sätta värdet $x=1$ i den formeln genereras följande resultat:

$\operatörsnamn {arcsl} (1){\bigl [}\operatörsnamn {arcsl} ^{*}(1)-\operatörsnamn {arcsl} (1){\bigr ]}=\int _{0}^ {1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\operatörsnamn {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}$

På grund av identiteterna för funktionerna K, F och E kan denna formel härledas direkt från resultatet:

$K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2} }{\bigr )}{\bigl [}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac { 1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {\pi }{2}}$

Bevis för det allmänna fallet

Enligt den härledning som just utförts är ovanstående resultat giltigt och visas här på ett summerat sätt:

$2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}} {\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}} {\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}$

Nu ska det modulära allmänna fallet bevisas i det följande. För detta ändamål härleds derivaten av de fullständiga elliptiska integralerna. Och sedan bestäms härledningen av Legendres identitetsbalans.

Bevis på derivatan av den elliptiska integralen av det första slaget:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\ int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d } x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2 })(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon x^{2}}{ \sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}} {\varepsilon (1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0 }^{1}{\frac {\varepsilon (1-2x^{2}+\varepsilon ^{2}x^{4})}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1 -x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=$

$={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}E(\varepsilon )-{\frac {1}{\varepsilon }}K(\varepsilon )-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\varepsilon x{\sqrt {1- x^{2}}}}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}$

Bevis på derivatan av den elliptiska integralen av det andra slaget:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )={\frac {\mathrm { d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1 -x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac { \sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{ \frac {-\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=$

$=-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2 })}}}}\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){ \bigr ]}$

För de pytagoreiska motmodulerna och enligt kedjeregeln är denna relation giltig:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\ varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1 -\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){ \bigr ]}$

Eftersom derivatan av cirkelfunktionen är den negativa produkten av den så kallade identiska funktionen och den reciproka av cirkelfunktionen. Legendres relation inkluderar alltid produkter av två kompletta elliptiska integraler. För härledning av funktionssidan från ekvationsskalan för Legendres identitet produktregeln i följande:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2 }}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2} }})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{ 2}}}){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac { 1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}} ){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac { 1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon ) E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}} ){\bigr ]}$

Av dessa tre ekvationer, addera de två översta ekvationerna och subtrahera den nedersta ekvationen ger detta resultat:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}) +E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ] }=0$

I förhållande till ε ger balansen hela tiden värdet noll.

Det tidigare bestämda resultatet gäller modulen $\varepsilon =1/{\sqrt {2}}$ på detta sätt:

$2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}} {\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}} {\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}$

Kombinationen av de två sista formlerna ger följande resultat:

$K(\varepsilon )E({\ sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1- \varepsilon ^{2}}})={\frac {\pi }{2}}$

För om derivatan av en kontinuerlig funktion konstant tar värdet noll, så är den berörda funktionen en konstant funktion. Detta innebär att denna funktion resulterar i samma funktionsvärde för varje abskissvärde ε och den tillhörande funktionsgrafen är därför en horisontell rät linje.

•    Duren, Peter (1991), "The Legendre relation for elliptic integrals", i Ewing, John H.; Gehring, FW (red.), Paul Halmos. Firar 50 år av matematik , New York: Springer-Verlag, s. 305-315 , doi : 10.1007/978-1-4612-0967-6_32 , ISBN 0-387-97509-8 , MR 211
•   Karatsuba, EA; Vuorinen, M. (2001), "Om hypergeometriska funktioner och generaliseringar av Legendres relation", J. Math. Anal. Appl. , 260 (2): 623–640, MR 1845572
• Legendre, AM (1811), Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures , vol. Jag, Paris
• Legendre, AM (1825), Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes , vol. Jag, Paris