Leapfrog filter

Ett lågpassstegfilter och dess signalflödesdiagram

Ett språngfilter är en typ av elektroniskt filter med aktiv krets som simulerar ett passivt elektroniskt stegfilter . Andra namn för den här typen av filter är aktiva stegar eller flera återkopplingsfilter . Arrangemanget av återkopplingsslingor i signalflödesgrafen för det simulerade stegfiltret inspirerade namnet leapfrog filter , som myntades av Girling och Good. Leapfrog-filtret bibehåller den låga komponentkänsligheten hos det passiva stegfiltret som det simulerar.

Syntes

Generiska stegfilter med antingen (a) spänningsingång/spänningsutgång, (b) strömingång/spänningsutgång, (c) spänningsingång/strömutgång eller (d) strömingång/strömutgång. Utgången kan också vara spänningen över eller strömmen genom en intern komponent av det sista elementet.

Definitionen och syntesen av leapfrog-filter beskrivs av Temes & LaPatra, Sedra & Brackett, Chen och Wait, Huelsman & Korn.

Syntes av språngfilter inkluderar vanligtvis följande steg:

1. Bestäm en prototyp av passivt stegfilter som har önskat frekvenssvar. Vanligtvis används en dubbelt avslutad prototyp.
2. Skriv ekvationerna som relaterar elementström till spänning över elementet i en form som lämpar sig för uttryck som en signalflödesgraf .
3. Rita signalflödesgrafen. Noderna i signalflödesdiagrammet kommer att inkludera både spänningar och strömmar. Grenvinsterna inkluderar impedanser och admittanser .
4. Konvertera alla noder i signalflödesgrafen till spänningar och alla impedanser till dimensionslösa transmittanser. Detta åstadkoms genom att dividera alla impedanselement med R , ett godtyckligt motstånd och multiplicera alla admittanselement med R . Denna skalning ändrar inte frekvensgången.
5. Manipulera signalflödesgrafen så att förstärkningarna som matar varje summeringsnod har samma tecken. Detta görs som en implementeringsbekvämlighet. Vid slutförandet av detta steg kommer typiskt alla återkopplingsförstärkningar i signalflödesgrafen att vara +1 och tecknen på förstärkningsblocken i den framåtriktade banan kommer att alternera. Som ett resultat kan vissa av noderna, inklusive huvudutgången, ha en 180° fasinvertering. Detta har vanligtvis ingen betydelse.
6. Förstärkningsblocken är implementerade med aktiva filter och sammankopplade som indikeras av signalflödesdiagrammet. Ofta tillståndsvariabelfilter för förstärkningsblocken.
7. Den slutliga kretsen har vanligtvis fler komponenter än prototypens passiva filter. Detta innebär att den slutliga kretsen har frihetsgrader som kan väljas för att optimera kretsen för dynamiskt omfång och för praktiska komponentvärden.

Exempel

Generiskt filter

Stegefilter med fyra element med spänningsingång och spänningsutgång

Tre steg av signalflödesgrafutveckling av ett stegfilter med fyra element med spänningsingång och spänningsutgång.

Designen börjar med ett känt stegfilter av en av typologierna som visas i föregående figur. Vanligtvis är alla element i stegfiltret förlustfria utom det första och det sista som har förlust. Med hjälp av en spänningsingång med fyra element, spänningsutgångsstegefilter som ett exempel, är ekvationerna som relaterar elementspänningarna och strömmarna följande:

$I_{1}=(V_{0}-V_{2})\mathrm {Y_{1}}$

$V_{2}=(I_{1}-I_{3})\mathrm {Z_{2}}$

$I_{3}=( V_{2}-V_{4})\mathrm {Y_{3}}$

$V_{4}=(I_{3})\mathrm {Z_{4}}$

Signalflödesgrafen för dessa ekvationer visas i den andra figuren till höger. Arrangemanget av återkopplingsslingor i signalflödesgrafen inspirerade namnet leapfrog filter . Signalflödesgrafen manipuleras för att omvandla alla strömnoder till spänningsnoder och alla impedanser och admittanser till dimensionslösa transmittanser. Detta motsvarar att manipulera ekvationerna antingen genom att multiplicera båda sidor med R eller genom att multiplicera en sida med R/R och fördela R -termerna över subtraktionsoperationen. Denna manipulation ändrar ekvationerna enligt följande:

$V_{1}=(V_{0}-V_{2})\mathrm {H_{1}}$

$V_{2}=(V_{1}-V_{3})\mathrm {H_{2}}$

$V_{3}=( V_{2}-V_{4})\mathrm {H_{3}}$

$V_{4}=(V_{3})\mathrm {H_{4}}$

där H1 = RY1 _, H2 ₌ GZ2 _, H3 ₌ RY3 _{, H4} = GZ4 _{, G} = 1/R, _{V1 =} RI1 _, V3 = _RI3

Signalflödesgrafen manipuleras ytterligare så att förstärkningarna i varje summeringsnod är +1. Resultatet av all manipulation visas som den nedre signalflödesgrafen i figuren. Ekvationerna som representeras av den resulterande signalflödesgrafen är som följer:

$-V_{1}=(V_{0}-V_{2})(-\mathrm {H_{1}} )$

$-V_{2}=(-V_{1}+V_{3})\mathrm {H_{2}}$

$V_{3}=(-V_{2}+V_{4})(-\mathrm {H_{3}})$

${\ displaystyle V_{4}=(V_{3})\mathrm {H_{4}} }$

Den besvärliga annoteringen av -V1 _och -V2 _som etiketter för noder i signalflödesdiagrammet indikerar att dessa noder uppvisar en 180° fasinversion med avseende på signalerna i prototypfiltret.

Denna manipulation kan utföras genom ett enkelt förfarande:

1. Gör alla udda eller alla jämna sändningar negativa. Den totala fasförskjutningen med avseende på prototypen kommer att vara 0° om det totala antalet inversioner är jämnt.
2. Ändra alla återkopplingsvinster till +1.
3. Bestäm tecknet för varje nodetikett genom att räkna antalet inversioner till den noden från ingången. Om antalet inversioner är udda, är nodetiketten negativ.

Signalflödesdiagrammet är lämpligt för implementering. Tillståndsvariabelfilter som är tillgängliga i både inverterande och icke-inverterande typologier används ofta.

Bandpassfilter

Ett schema för ett passivt bandpass elektroniskt filter

Passiv krets

Kretsen för ett bandpass , passivt stegfilter bestäms först.

De enskilda komponenterna parallellt eller i serie kan kombineras till generella impedanser eller admittanser. För detta schema:

$\mathrm {Z_{1}} ={\frac {s\mathrm {L_{1}} }{s^{ 2}\mathrm {C_{1}} \mathrm {L_{1}} +s{\frac {\mathrm {L_{1}} }{\mathrm {R_{1}} }}+\mathrm {1} }}$

${\mathrm {Y_{2}} }={\frac {s\mathrm {C_{2}} }{s^{2 }\mathrm {C_{2}} \mathrm {L_{2}} +\mathrm {1} }}$

$\mathrm {Z_{3} } ={\frac {s\mathrm {L_{3}} }{s^{2}\mathrm {C_{3}} \mathrm {L_{3}} +1}}$

$\mathrm {Y_{4}} ={\frac {s\mathrm {C_{4}} }{s^{2}\mathrm {C_{ 4}} \mathrm {L_{4}} +s\mathrm {C_{4}} \mathrm {R_{4}} +1}}$

Signalflödesdiagramrepresentationen av stegfilterekvationerna.

Signalflödesgraf

Ström- och spänningsvariablerna kan sättas in i orsaks- och verkansförhållanden enligt följande.

$V_{1}=(I_{0}-I_{2})\mathrm {Z_{1}}$

$I_{2}=(V_{1}-V_{3})\mathrm {Y_{2}}$

$V_{3}=( I_{2}-I_{4})\mathrm {Z_{3}}$

$I_{4}=V_{3}\mathrm {Y_{4}}$

$V_{\mathrm {out} }=I_{4}\mathrm {R_{4}}$

En signalflödesgraf för dessa ekvationer visas till höger.

Skalat signalflödesdiagram

Av implementeringsskäl kan de aktuella variablerna multipliceras med ett godtyckligt motstånd för att omvandla dem till spänningsvariabler som också omvandlar alla förstärkningar till dimensionslösa värden. I detta exempel multipliceras alla strömmar med R . Detta åstadkoms genom att antingen multiplicera båda sidor av en ekvation med R eller genom att multiplicera en sida med R/R och sedan fördela R-termen över strömmarna.

Signalflödesdiagramrepresentationen av stegfilterekvationerna med impedanser skalade med R , ett godtyckligt motstånd.

$V_{1}=\mathrm {R} (I_{0}-I_{2}){\frac { \mathrm {Z_{1}} }{\mathrm {R} }}=(V_{0}-V_{2})\mathrm {H_{1}}$

$V_{2}=\mathrm {R} I_{2}=(V_{1}-V_{3})\mathrm {R} \ mathrm {Y_{2}} =(V_{1}-V_{3})\mathrm {H_{2}}$

$V_{3}=\mathrm {R} (I_{2}-I_{4}){\frac {\mathrm {Z_{3}} }{\mathrm {R} }}=(V_ {2}-V_{4})\mathrm {H_{3}}$

$V_{4}=\mathrm {R} I_{ 4}=V_{3}\mathrm {R} \mathrm {Y_{4}} =V_{3}\mathrm {H_{4}}$

$V_{\mathrm {out} }=\mathrm {R} I_{4}{\frac {\mathrm {R_{4}} }{\mathrm {R} }}=V_{4}\mathrm { H_{5}}$

Manipulerad signalflödesgraf

Det är bekvämt för implementering om förstärkningarna som matar summeringsnoderna alla har samma tecken. I så fall kan summering uppnås med en förbindelse av två resister.

Signalflödesdiagramrepresentationen av stegfilterekvationerna med impedanser skalade med R, ett godtyckligt motstånd. Tecken på förstärkningarna har manipulerats så att alla förstärkningar som matas in i en nod har samma tecken.

$V_{1}=(V_{0}+(-V_{2}))\mathrm {H_{1}}$

$-V_{2}=(V_{1}+(-V_{3}))(\mathrm {-H_{2}} )$

$-V_{3}=((-V_{2})+V_{4})\mathrm {H_{3}}$

$V_{4}=V_{3}(\mathrm {-H_{4}} )$

$V_{\mathrm { ut} }=(V_{4})\mathrm {H_{5}}$

Genomförande

Modifierat Tow-Thomas aktivt biquad-filter med summeringsingångar och gratis bandpassutgångar lämpliga för användning i ett språngfilter. V _BP är bandpassutgången, V _BPI är den inverterade bandpassutgången, V _LPI är den inverterade lågpassutgången.

Alla transmittanser H1 _- H4 _, i detta exempel, är bandpassfilter. De kan implementeras med det modifierade Tow-Thomas aktiva biquad-filtret . Denna biquad har både positiva och negativa bandpassutgångar så att den kan realisera vilken som helst av transmittanserna. Denna biquad har också summeringsingångar så att den också kan implementera summeringsnoderna.

${\frac {V_{\mathrm {BP} }}{V_{\mathrm {1} }}}={\frac {V_{\mathrm {BP} } }{V_{\mathrm {2} }}}=-{\frac {V_{\mathrm {BPI} }}{V_{\mathrm {1} }}}=-{\frac {V_{\mathrm {BPI } }}{V_{\mathrm {2} }}}={\frac {s/({\mathrm {R_{d}} \mathrm {C_{a}} })}{s^{2}+s /({\mathrm {R_{a}} \mathrm {C_{a}} })+1/({\mathrm {R_{b}} \mathrm {R_{c}} \mathrm {C_{a}} \mathrm {C_{b}} })}}$

${\frac {V_{\mathrm {LPI} }}{V_{\mathrm {1} }}}={\frac {V_{\mathrm {LPI} }}{V_{\mathrm {2} }}}=-{\frac {s/({\mathrm {R_{b}} \mathrm {R_{d}} \mathrm {C_{a}} \mathrm {C_{b}} })}{s^{2}+s/({\mathrm {R_{a}} \mathrm {C_{a}} })+1/({\mathrm {R_{ b}} \mathrm {R_{c}} \mathrm {C_{a}} \mathrm {C_{b}} })}}$

Inställning

Ett språngfilter kan vara svårt att ställa in på grund av den komplicerade feedbacken. En strategi är att öppna återkopplingsslingorna så att den återstående filterstrukturen är en enkel kaskaddesign. Varje avsnitt kan sedan ställas in oberoende. De inre sektionerna, H ₂ och H ₃ har oändligt Q och kan vara instabila när återkopplingsslingorna är öppna. Dessa steg kan utformas med ett stort, men ändligt Q så att de kan stämmas medan återkopplingsslingorna är öppna.