Lax ekvivalenssats

Inom numerisk analys är Lax ekvivalenssats ett fundamentalt sats i analysen av finita differensmetoder för numerisk lösning av partiella differentialekvationer . Den anger att för en konsekvent ändlig skillnadsmetod för ett välpositionerat linjärt initialvärdeproblem är metoden konvergent om och endast om den är stabil .

Vikten av satsen är att även om konvergensen av lösningen av den finita differensmetoden till lösningen av den partiella differentialekvationen är vad som önskas, är det vanligtvis svårt att fastställa eftersom den numeriska metoden definieras av ett återkommande samband medan differentialen ekvation involverar en differentierbar funktion. Konsistens – kravet på att metoden med ändlig skillnad närmar sig den korrekta partiella differentialekvationen – är dock enkelt att verifiera, och stabilitet är vanligtvis mycket lättare att visa än konvergens (och skulle behövas i alla fall för att visa att avrundningsfel inte kommer att förstöra beräkningen). Därför visas konvergens vanligtvis via Lax ekvivalenssats.

Stabilitet betyder i detta sammanhang att en matrisnorm för matrisen som används i iterationen högst är enhet , kallad (praktisk) Lax–Richtmyer-stabilitet. Ofta ersätts en von Neumann stabilitetsanalys för bekvämlighets skull, även om von Neumann stabilitet endast innebär Lax–Richtmyer stabilitet i vissa fall.

Detta teorem beror på Peter Lax . Det kallas ibland Lax–Richtmyer-satsen , efter Peter Lax och Robert D. Richtmyer .