Laue ekvationer

Laue ekvation

I kristallografi och fast tillståndsfysik relaterar Laue-ekvationerna inkommande vågor till utgående vågor i processen av elastisk spridning , där fotonenergin eller ljusets tidsmässiga frekvens inte ändras genom spridning, av ett kristallgitter . De är uppkallade efter fysikern Max von Laue (1879–1960).

Laue-ekvationerna kan skrivas som $\mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G}$ som tillståndet för elastisk vågspridning av ett kristallgitter, där $\mathbf {k} _{\mathrm {in} }$ , $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }$ och $\mathbf {G}$ är en inkommande (till kristallen) vågvektor , en utgående (från kristallen genom spridning ) vågvektor och en reciprok gittervektor för kristallen. På grund av elastisk spridning ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}} , tre vektorer$ . $\mathbf {G}$ , $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }$ och $-\mathbf {k} _{\ mathrm {in} }$ , bildar en romb om ekvationen är uppfylld. Om spridningen uppfyller denna ekvation, sprider alla kristallgitterpunkter den inkommande vågen mot spridningsriktningen (riktningen längs ${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }} )$ . Om ekvationen inte är uppfylld, så sprider endast vissa gitterpunkter den inkommande vågen för alla spridningsriktningar. (Denna fysiska tolkning av ekvationen är baserad på antagandet att spridning vid en gitterpunkt görs på ett sätt så att spridningsvågen och den inkommande vågen har samma fas vid punkten.) Det kan också ses som bevarandet av momentum. som $\hbar \mathbf {k} _{\mathrm {out} }=\hbar \mathbf {k} _{\mathrm {in} }+\ hbar \mathbf {G}$ eftersom $\mathbf {G}$ är vågvektorn för en plan våg associerad med parallella kristallgitterplan. (Vågfronterna för den plana vågen sammanfaller med dessa gitterplan.)

Ekvationerna är ekvivalenta med Braggs lag ; Laue-ekvationerna är vektorekvationer medan Braggs lag är i en form som är lättare att lösa, men dessa berättar samma innehåll.

Laues ekvationer

Låt $\mathbf {a} \,,\mathbf {b} \,,\mathbf {c}$ vara primitiva translationsvektorer (kortast kallade primitiva vektorer) av ett kristallgitter $L$ , där atomer är belägna vid gitterpunkter som beskrivs av $\mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\ ,\mathbf {c}$ med $p$ , $q$ och $r$ som alla heltal . (Så $\mathbf {x}$ som indikerar att varje gitterpunkt är en linjär heltalskombination av de primitiva vektorerna.)

Låt $\mathbf {k} _{\mathrm {in} }$ vara vågvektorn för en inkommande (infallande) stråle eller våg mot kristallgittret $L$ , och låt $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }$ vara vågvektorn för en utgående (diffrakterad) stråle eller våg från $L$ . Då vektorn $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {\Delta k}$ , kallad spridningsvektor eller överförd vågvektor , mäter skillnaden mellan de inkommande och utgående vågvektorerna.

De tre villkoren som spridningsvektorn $\mathbf {\Delta k}$ måste uppfylla, kallade Laue-ekvationerna , är följande:

$\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} =2\pi h$

$\mathbf {\Delta k} \ cdot \mathbf {b} =2\pi k$

$\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} =2\pi l$

där talen $h,k,l$ är heltal . Varje val av heltal $(h,k,l)$ , kallade Miller-index , bestämmer en spridningsvektor $\mathbf {\Delta k}$ . Därför finns det oändligt många spridningsvektorer som uppfyller Laue-ekvationerna eftersom det finns oändligt många val av Miller-index ( $\displaystyle (h,k,l)}$ . Tillåtna spridningsvektorer $\mathbf {\Delta k}$ bildar ett gitter $L^{*}$ , kallat det reciproka gittret för kristallgittret $L$ , som varje $\mathbf {\Delta k}$ indikerar en punkt på $L^{*}$ . (Detta är innebörden av Laue-ekvationerna som visas nedan.) Detta tillstånd tillåter att en enda infallande stråle diffrakteras i oändligt många riktningar. Strålarna som motsvarar höga Miller-index är dock mycket svaga och kan inte observeras. Dessa ekvationer räcker för att hitta en bas för det ömsesidiga gittret (eftersom varje observerad $\mathbf {\Delta k}$ indikerar en punkt för kristallens ömsesidiga gitter under mätningen), från vilken kristallgittret kan vara beslutsam. Detta är principen för röntgenkristallografi .

Matematisk härledning

För en infallande plan våg med en enda frekvens $\displaystyle f$ (och vinkelfrekvensen $\displaystyle \omega =2\pi f$ ) på en kristall, de diffrakterade vågorna från kristall kan ses som summan av utgående plana vågor från kristallen. (I själva verket kan vilken våg som helst representeras som summan av plana vågor, se Fourieroptik .) Den infallande vågen och en av plana vågor av den diffrakterade vågen representeras som

$\displaystyle f_{\mathrm {in} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {in} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} } ),$

$\displaystyle f_{\mathrm {out} }( t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {out} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _ {\mathrm {ut} }),$

där $\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }$ och $\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }$ är vågvektorer för de infallande och utgående planvågorna är $\displaystyle \mathbf {x}$ positionsvektorn och $\displaystyle t$ är en skalär som representerar tid, och $\varphi _ {\mathrm {in} }$ och $\varphi _{\mathrm {out} }$ är initiala faser för vågorna. För enkelhetens skull tar vi vågor som skalärer här, även om det huvudsakliga fallet av intresse är ett elektromagnetiskt fält, som är en vektor . Vi kan tänka dessa skalära vågor som komponenter av vektorvågor längs en viss axel ( x , y , eller z -axel) i det kartesiska koordinatsystemet .

De infallande och diffrakterade vågorna fortplantar sig genom rymden oberoende, förutom vid punkter i gittret $L$ av kristallen, där de resonerar med oscillatorerna, så faserna för dessa vågor måste sammanfalla. Vid varje punkt $\mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c}$ av gittret $L$ , vi har

$\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {i} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {i} })=\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm { ut} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {ut} }),$

eller motsvarande måste vi ha

$\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} +\varphi _{\mathrm {in} }=\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} + \varphi _{\mathrm {out} }+2\pi n,$

för något heltal $n$ beror det på punkten $\mathbf {x}$ . Eftersom denna ekvation gäller vid $\mathbf {x} =0$ , $\varphi _{\mathrm {in} }=\varphi _{ \mathrm {out} }+2\pi n'$ vid något heltal $n'$ . Så

$\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} =\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\ cdot \mathbf {x} +2\pi n.$

(Vi använder fortfarande $n$ istället för $(nn')$ eftersom båda notationerna i huvudsak indikerar något heltal.) Genom att ordna om termer får vi

$\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =(\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} })\cdot \ mathbf {x} =2\pi n.$

Nu räcker det att kontrollera att detta villkor är uppfyllt vid de primitiva vektorerna ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} } ($ vilket är exakt vad Laue-ekvationerna säg), eftersom, vid vilken gitterpunkt som helst $\mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\ mathbf {c}$ , vi har

$\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =\ mathbf {\Delta k} \cdot (p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} )=p(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )+q(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} )+r(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} )=p\,(2\pi h) +q\,(2\pi k)+r\,(2\pi l)=2\pi (ph+qk+rl)=2\pi n,$

där $n$ är heltal $ph+qk+rl$ . Påståendet att varje parentes, t.ex. ${\displaystyle (\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {a} )} ,$ ska vara en multipel av $2\pi$ ( det vill säga varje Laue-ekvation) är motiverad eftersom annars $p(\mathbf {\Delta k} \ cdot \mathbf {a} )+q(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {b} )+r(\mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {c} )=2\pi n$ gör inte hållas för några godtyckliga heltal $p,q,r$ .

Detta säkerställer att om Laue-ekvationerna är uppfyllda, så har den inkommande och utgående (diffrakterade) vågen samma fas vid varje punkt av kristallgittret, så svängningarna av kristallens atomer, som följer den inkommande vågen, kan samtidigt tid genererar den utgående vågen vid samma fas av den inkommande vågen.

Förhållande till ömsesidiga galler och Braggs lag

Om $\mathbf {G} =h\mathbf {A} +k\mathbf {B} +l\mathbf {C}$ med $h$ , $k$ , $l$ som heltal representerar det reciproka gittret för ett kristallgitter $L$ (definierad av ${\displaystyle \mathbf {x} = p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} } )$ i verkliga rymden vet vi att ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {G} \cdot (p\mathbf {a} +q \mathbf {b} +r\mathbf {c} )=2\pi (hp+kq+lr)=2\pi n} med ett$ heltal $n$ på grund av den kända ortogonaliteten mellan primitiva vektorer för den reciproka gitter och de för kristallgittret. (Vi använder den fysiska, inte kristallografens, definition för reciproka gittervektorer som ger faktorn $2\pi$ .) Men lägg märke till att detta inte är något annat än Laue-ekvationerna. Därför identifierar vi $\mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G}$ , betyder att tillåtna spridningsvektorer $\mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out } }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }$ är de som är lika med reciproka gittervektorer $\mathbf {G}$ för en kristall i diffraktion, och detta är meningen med Laue-ekvationerna. Detta faktum kallas ibland Laue-tillståndet . I denna mening är diffraktionsmönster ett sätt att experimentellt mäta det reciproka gittret för ett kristallgitter.

Laue-villkoret kan skrivas om enligt följande.

${\begin{aligned}\mathbf {G} &=\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {G} |^{2}\\\rightarrow |\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}-2\mathbf {k} _{\mathrm {ut } }\cdot \mathbf {G} +|\mathbf {G} |^{2}.\end{aligned}}$

Tillämpa det elastiska spridningsvillkoret ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}} (Med andra ord$ , inkommande och diffrakterade vågor har samma (temporala) frekvens. Vi kan också säga att energin per foton inte ändras.) till ovanstående ekvation får vi

$2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2},$

$2{{\mathbf {k} }_{\text{i}}}\cdot (-\mathbf {G} )=|\mathbf {G} {{|}^{2}}.$

Den andra ekvationen erhålls från den första ekvationen genom att använda $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G}$ .

Resultatet ${\displaystyle 2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}} ($ även $2{{\mathbf {k} }_{\text{i}}}\cdot (-\mathbf {G} )=|\mathbf {G} {{|}^{2}}$ ) är en ekvation för ett plan (geometri) (som mängden av alla punkter som anges av $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }$ som uppfyller denna ekvation) som dess ekvivalenta ekvation ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot (2{{\mathbf {k} }_{\text{out}}}-\mathbf {G} )=0} är$ en planekvation i geometri. En annan ekvivalent ekvation, som kanske är lättare att förstå, är ${{\mathbf {k} }_{\text{out}}}\cdot {\widehat {\mathbf {G} }}={\frac {1}{2}}\left|\mathbf { G} \right|$ (även ${\displaystyle (-{{\mathbf {k} }_{\text{i}}})\cdot {\widehat {\mathbf {G} }}={\frac {1}{2}}\left|\mathbf {G} \right|} )$ . Detta indikerar planet som är vinkelrät mot den räta linjen mellan det reciproka gitterorigo $\mathbf {G} =0$ och $\mathbf {G}$ och placerat i mitten av linjen. Ett sådant plan kallas Bragg-plan. Detta plan kan förstås eftersom $\mathbf {G} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in } }$ för att spridning ska inträffa (Det är Laue-villkoret, motsvarande Laue-ekvationerna.) och den elastiska spridningen ${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}} har antagits$ så ${ \displaystyle \mathbf {G} }$ , $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }$ och $-\mathbf {k} _{\mathrm { in} }$ bildar en romb . Varje $\mathbf {G}$ är per definition vågvektorn för en plan våg i Fourier-serien av en rumslig funktion vars periodicitet följer kristallgittret (t.ex. funktionen som representerar kristallens elektroniska täthet), vågfronter av varje plan våg i Fourier-serien är vinkelrät mot den plana vågens vågvektor ${\displaystyle \mathbf {G} } ,$ och dessa vågfronter sammanfaller med parallella kristallgitterplan. Detta betyder att röntgenstrålar till synes "reflekteras" av parallella kristallgitterplan vinkelräta $\mathbf {G}$ i samma vinkel som deras infallsvinkel till kristallen $\theta$ med avseende på gitterplan; i det elastiska ljuset ( typiskt röntgen ) -kristallspridning, parallella kristallgitterplan vinkelräta mot en reciprok gittervektor $\mathbf {G}$ för kristallgittret spelar som parallella speglar för ljus som tillsammans med ${ \displaystyle \mathbf {G} }$ , inkommande (till kristallen) och utgående (från kristallen genom spridning) vågvektorer bildar en romb.

Eftersom vinkeln mellan $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }$ och $\mathbf {G}$ är $\pi /2- \theta$ , (På grund av den spegelliknande spridningen är vinkeln mellan $\mathbf {k} _{\mathrm {in} }$ och $\mathbf {G}$ också $\pi /2-\theta$ .) $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\ sin \theta$ . Minns, $|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|=2\pi /\lambda$ med $\lambda$ som ljusets (vanligtvis röntgen) våglängd, och $|\mathbf {G} |={\frac {2\pi }{d}}n$ med $d$ som avståndet mellan intilliggande parallella kristallgitterplan och ${\ displaystyle n}$ som ett heltal. Med dessa härleder vi nu Braggs lag som är ekvivalent med Laue-ekvationerna (även kallat Laue-villkoret):

${\begin{aligned}2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}\\2|\mathbf {k } _{\mathrm {ut} }||\mathbf {G} |\sin \theta =|\mathbf {G} |^{2}\\2(2\pi /\lambda )(2\pi n/ d)\sin \theta =(2\pi n/d)^{2}\\2d\sin \theta =n\lambda .\end{aligned}}$

•   Kittel, C. (1976). Introduktion till Solid State Physics , New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-49024-5

Anteckningar