Landau-Zener formel

Skiss av en undviken korsning . Grafen representerar energierna i systemet längs en parameter z (som kan variera i tid). De streckade linjerna representerar energierna för de diabatiska tillstånden, som korsar varandra vid z _c , och de heldragna linjerna representerar energin för de adiabatiska tillstånden (egenvärden för Hamiltonian).

Landau -Zener-formeln är en analytisk lösning på rörelseekvationerna som styr övergångsdynamiken i ett tvåtillståndskvantumsystem, med en tidsberoende Hamiltonian som varierar så att energiseparationen mellan de två tillstånden är en linjär funktion av tiden. Formeln, som ger sannolikheten för en diabatisk (inte adiabatisk ) övergång mellan de två energitillstånden, publicerades separat av Lev Landau , Clarence Zener , Ernst Stueckelberg och Ettore Majorana , 1932.

Om systemet startar, i det oändliga förflutna, i det lägre energiegentillståndet, vill vi beräkna sannolikheten för att hitta systemet i det övre energiegentillståndet i den oändliga framtiden (en så kallad Landau–Zener-övergång). För oändligt långsam variation av energiskillnaden (det vill säga en Landau-Zener-hastighet på noll), säger den adiabatiska satsen att ingen sådan övergång kommer att äga rum, eftersom systemet alltid kommer att vara i ett momentant egentillstånd av Hamiltonian i det ögonblicket i tid. Vid hastigheter som inte är noll inträffar övergångar med sannolikhet enligt beskrivningen av Landau-Zener-formeln.

Villkor och uppskattning

Sådana övergångar förekommer mellan tillstånd i hela systemet, därför måste varje beskrivning av systemet inkludera alla yttre påverkan, inklusive kollisioner och externa elektriska och magnetiska fält. För att rörelseekvationerna för systemet ska kunna lösas analytiskt görs en uppsättning förenklingar, kollektivt kända som Landau-Zener-approximationen. Förenklingarna är följande:

Störningsparametern i Hamiltonian är en känd, linjär funktion av tiden
Energiseparationen av de diabatiska tillstånden varierar linjärt med tiden
Kopplingen i den diabatiska Hamiltonska matrisen är oberoende av tid

Den första förenklingen gör detta till en halvklassisk behandling. När det gäller en atom i ett magnetfält blir fältstyrkan en klassisk variabel som kan mätas exakt under övergången. Detta krav är ganska restriktivt eftersom en linjär förändring i allmänhet inte kommer att vara den optimala profilen för att uppnå önskad övergångssannolikhet.

Den andra förenklingen tillåter oss att göra ersättningen

\Delta E=E_{2}(t)-E_{1}(t)\equiv \alpha t,\,

där $E_{1}(t)$ och $E_{2}(t)$ är energierna för de två tillstånden vid tidpunkten $t$ , givna av de diagonala elementen av den Hamiltonska matrisen, och $\alpha$ är en konstant. För fallet med en atom i ett magnetfält motsvarar detta en linjär förändring i magnetfältet. För ett linjärt Zeemanskifte följer detta direkt av punkt 1.

Den slutliga förenklingen kräver att den tidsberoende störningen inte kopplar de diabatiska tillstånden; snarare måste kopplingen bero på en statisk avvikelse från en $1/r$ Coulomb potential , vanligen beskriven av en kvantdefekt .

Formel

Detaljerna i Zeners lösning är något ogenomskinliga och förlitar sig på en uppsättning substitutioner för att sätta rörelseekvationen i form av Weber-ekvationen och använda den kända lösningen. En mer transparent lösning tillhandahålls av Curt Wittig med hjälp av konturintegration .

Förtjänstens nyckeltal i detta tillvägagångssätt är Landau-Zener-hastigheten:

v_{\rm {LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \över {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}},

där $q$ är störningsvariabeln (elektriskt eller magnetiskt fält, molekylär bindningslängd eller någon annan störning till systemet), och $E_{1}$ och $E_{2}$ är energierna i de två diabatiska (korsande) tillstånden. En stor $v_{\rm {LZ}}$ resulterar i en stor diabatisk övergångssannolikhet och vice versa.

Med hjälp av Landau–Zener-formeln ges sannolikheten, ${\displaystyle P_{\rm {D}}} ,$ för en diabatisk övergång av

{\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{ \frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt }}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\ end{aligned}}

Kvantiteten $a$ är det off-diagonala elementet i tvånivåsystemets Hamiltonian som kopplar baserna, och som sådan är det halva avståndet mellan de två opåverkade egenenergierna vid den undvikade korsningen, när $E_{1}=E_{2}$ .

Flerstatsproblem

Den enklaste generaliseringen av tvåtillståndsmodellen Landau-Zener är ett multistatssystem med en Hamiltonian av formen

H(t)=A+Bt

,

där A och B är hermitiska N x N -matriser med tidsoberoende element. Målet med multistate Landau-Zener-teorin är att bestämma element i spridningsmatrisen och övergångssannolikheterna mellan tillstånd i denna modell efter evolution med en sådan Hamiltonian från negativ oändlig till positiv oändlig tid. Övergångssannolikheterna är det absoluta värdet i kvadrat av spridningsmatriselement.

Det finns exakta formler, kallade hierarkibegränsningar, som tillhandahåller analytiska uttryck för speciella element i spridningsmatrisen i alla Landau-Zener-modeller med flera tillstånd. Specialfall av dessa relationer är kända som Brundobler–Elser (BE) formeln ,, ), och no-go-satsen ,. Diskreta symmetrier leder ofta till begränsningar som minskar antalet oberoende element i spridningsmatrisen.

Det finns också integrerbarhetsvillkor som, när de är uppfyllda, leder till exakta uttryck för hela spridningsmatriserna i multistate Landau–Zener-modeller. Många sådana helt lösbara modeller har identifierats, inklusive:

Demkov–Osherov-modell som beskriver en enda nivå som korsar ett band av parallella nivåer. Ett överraskande faktum om lösningen av denna modell är sammanträffandet av den exakt erhållna övergångssannolikhetsmatrisen med dess form erhållen med en enkel semiklassisk oberoende korsningsapproximation. Med vissa generaliseringar förekommer denna egenskap i nästan alla lösbara Landau-Zener-system med ett ändligt antal interagerande tillstånd.
Generaliserad fluga modell. Modellen beskriver koppling av två (eller en i den degenererade fallgränsen) nivåer till en uppsättning av annars icke-interagerande diabatiska tillstånd som korsar vid en enda punkt.
Driven Tavis-Cummings-modell beskriver interaktion av N spins-½ med ett bosoniskt läge i ett linjärt tidsberoende magnetfält. Detta är det rikaste kända lösta systemet. Den har kombinatorisk komplexitet: dimensionen av dess tillståndsvektorrymd växer exponentiellt med antalet snurr N. Övergångssannolikheterna i denna modell beskrivs av den q-deformerade binomialstatistiken. Denna lösning har funnit praktiska tillämpningar inom fysik av Bose-Einstein-kondensat.
Spinnkluster som interagerar med tidsberoende magnetfält. Denna klass av modeller visar ett relativt komplext beteende för övergångssannolikheterna på grund av väginterferenseffekterna i den semiklassiska oberoende korsningsapproximationen.
Reducerbara (eller sammansatta) flerstatliga Landau-Zener-modeller. Denna klass består av system som kan frikopplas till delmängder av andra lösbara och enklare modeller genom en symmetritransformation. Det anmärkningsvärda exemplet är ett godtyckligt spin Hamiltonian ${\textstyle H=gS_{x}+btS_{z}} ,$ där S _z och S _x är spinnoperatorer, och S >1/2 ; b och g är konstanta parametrar. Detta är det tidigaste kända lösbara systemet, som diskuterades av Majorana 1932. Bland de andra exemplen finns modeller av ett par degenererade plankorsningar och 1D-kvant-Ising-kedjan i ett linjärt föränderligt magnetfält.
Landau–Zener övergångar i oändliga linjära kedjor. Denna klass innehåller systemen med formellt oändligt antal interagerande tillstånd. Även om de flesta kända förekomsterna av dem kan erhållas som gränser för modellerna med ändlig storlek (som Tavis-Cummings-modellen), finns det också fall som inte tillhör denna klassificering. Till exempel finns det lösbara oändliga kedjor med icke-nollkopplingar mellan icke-närmaste tillstånd.

Studie av buller

Tillämpningar av Landau-Zeners lösning på problemen med kvanttillståndsberedning och manipulation med diskreta frihetsgrader stimulerade studiet av brus- och dekoherenseffekter på övergångssannolikheten i ett driven tvåtillståndssystem. Flera kompakta analytiska resultat har härletts för att beskriva dessa effekter, inklusive Kayanuma-formeln för ett starkt diagonalt brus och Pokrovsky-Sinitsyn-formeln för kopplingen till ett snabbt färgat brus med off-diagonala komponenter.

Med användning av Schwinger–Keldysh Greens funktion utfördes en ganska komplett och omfattande studie av effekten av kvantbrus i alla parameterregimer av Ao och Rammer i slutet av 1980-talet, från svag till stark koppling, låg till hög temperatur, långsam till snabb passage, etc. Kortfattade analytiska uttryck erhölls inom olika gränser, som visar de rika beteenden hos ett sådant problem. Effekterna av kärnspinnbad och värmebadskoppling på Landau-Zener-processen undersöktes av Sinitsyn och Prokof'ev respektive Pokrovsky och Sun.

Exakta resultat i multistate Landau-Zener-teori ( no-go-sats och BE-formel) kan appliceras på Landau-Zener-system som är kopplade till bad som består av oändligt många oscillatorer och/eller spinnbad (dissipativa Landau-Zener-övergångar). De ger exakta uttryck för övergångssannolikheter i genomsnitt över slutliga badtillstånd om utvecklingen börjar från grundtillståndet vid noll temperatur, se i Ref. för oscillatorbad och för universella resultat inklusive spinnbad i Ref.

Se även