Lacunaritet

Figur 1. Grundläggande fraktala mönster ökar i tomhet från vänster till höger.

Samma bilder som ovan, roterade 90°. Medan de två första bilderna ser i huvudsak ut på samma sätt som de gör ovan, ser den tredje annorlunda ut än sitt oroterade original. Den här funktionen fångas i mått på bristfällighet listade överst i figurerna, beräknad med hjälp av standardmjukvaran för biologisk bildräkneräkning FracLac , Image .

Lacunarity , från latinets lacuna , som betyder "gap" eller "sjö", är en specialiserad term inom geometri som syftar på ett mått på hur mönster, särskilt fraktaler , fyller utrymmet, där mönster som har fler eller större mellanrum generellt har högre lacunaritet. Utöver att vara ett intuitivt mått på tomhet, kan lakaritet kvantifiera ytterligare egenskaper hos mönster som "rotationsinvarians" och mer allmänt heterogenitet. Detta illustreras i figur 1 som visar tre fraktala mönster. När de roteras 90° tycks de två första ganska homogena mönstren inte förändras, men den tredje mer heterogena figuren förändras och har en motsvarande större tomhet. Den tidigaste hänvisningen till termen i geometri tillskrivs vanligtvis Benoit Mandelbrot , som 1983 eller kanske så tidigt som 1977 introducerade det som i huvudsak ett komplement till fraktalanalys . Lacunaritetsanalys används nu för att karakterisera mönster inom en mängd olika områden och har tillämpning i framför allt multifraktal analys (se Applications ).

Mätning av lakaritet

I många mönster eller datamängder är lakaritet inte lätt uppfattbar eller kvantifierbar, så datorstödda metoder har utvecklats för att beräkna den. Som en mätbar storhet betecknas lakaritet ofta i den vetenskapliga litteraturen med de grekiska bokstäverna $\Lambda$ eller $\lambda$ men det är viktigt att notera att det inte finns någon enskild standard och det finns flera olika metoder för att bedöma och tolka brister.

Lådoräknelighet

Figur 2a. Rutor läggs över en bild som ett fast rutnät.

Figur 2b. Rutor gled över en bild i ett överlappande mönster.

En välkänd metod för att bestämma bristfällighet för mönster som extraherats från digitala bilder använder boxräkning , samma väsentliga algoritm som vanligtvis används för vissa typer av fraktalanalys . På samma sätt som att titta på ett objektglas genom ett mikroskop med ändrade förstoringsnivåer, tittar boxräkningsalgoritmer på en digital bild från många upplösningsnivåer för att undersöka hur vissa funktioner förändras med storleken på det element som används för att inspektera bilden. I grund och botten mäts arrangemanget av pixlar med användning av traditionellt kvadratiska (dvs boxformade) element från en godtycklig uppsättning $\mathrm {E}$ -storlekar, konventionellt betecknade $\varepsilon$ s. För varje $\varepsilon$ , placeras en ruta med storleken $\varepsilon$ successivt på magen, som till slut täcker den helt, och varje gång den läggs ner, antalet pixlar som faller inom boxen spelas in. I standardboxräkning placeras rutan för varje $\varepsilon$ i ${\displaystyle \mathrm {E} } som om den vore en del av ett rutnät överlagrat på bilden så att rutan inte överlappar sig själv,$ men i sliding box-algoritmer skjuts rutan över bilden så att den överlappar sig själv och "Sliding Box Lacunarity" eller SLac beräknas. Figur 2 illustrerar båda typerna av boxräkning.

Beräkningar från boxräkning

Data som samlas in för varje $\varepsilon$ manipuleras för att beräkna bristfällighet. Ett mått, här betecknat som $\lambda _{\varepsilon }$ , hittas från variationskoefficienten ( ${\displaystyle {\mathit {CV}}} )$ , beräknad som standardavvikelsen ( $\sigma$ ) dividerat med medelvärdet ( $\mu$ ), för pixlar per ruta. Eftersom hur en bild samplas kommer att bero på den godtyckliga startplatsen, för varje bild som samplas vid vilken ${\displaystyle \varepsilon } som helst$ kommer det att finnas ett antal ( ${\displaystyle {\mathit {G}}})$ av möjliga orienteringar , var och en betecknad här med ${\displaystyle {\mathit {g}}} ,$ som data kan samlas in över, vilket kan ha olika effekter på den uppmätta fördelningen av pixlar. Ekvation 1 visar den grundläggande metoden för att beräkna $\lambda _{\varepsilon ,g}$ :

$\lambda _{\varepsilon ,g}=(CV_{\varepsilon ,g})^{2 }=\left({\frac {\sigma _{\varepsilon ,g}}{\mu _{\varepsilon ,g}}}\right)^{2}$

 

 

 

 

()

Sannolikhetsfördelningar

Alternativt kan vissa metoder sortera antalet pixlar som räknas till en sannolikhetsfördelning med $B$ -fack, och använda fackstorlekarna (massor, $m$ ) och deras motsvarande sannolikheter ( $p$ ) för att beräkna $\lambda _{\varepsilon ,g}$ enligt ekvationerna 2 till 5 :

$\mu _{\varepsilon }=\summa _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }p_{i ,\varepsilon }}$

 

 

 

 

()

${\mathit {v}}_{\varepsilon }=\summa _{i-1}^{B} {\left(m_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }\right)^{2}p_{i,\varepsilon }}$

 

 

 

 

()

$\sigma _{\varepsilon }={\sqrt {{\mathit {v}}_{\varepsilon }}}=\summa _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }^{2}p_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }^{2}}$

 

 

 

 

()

$\lambda _{\varepsilon }={\frac {\sum _{ i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }^{2}p_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }^{2}}}{\mu _{\varepsilon }^ {2}}}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\mu _{\varepsilon }^{2}}}$

 

 

 

 

()

Tolkning av λ

Lakunaritet baserad på $\lambda _{\varepsilon ,g}$ har bedömts på flera sätt, inklusive genom att använda variationen i eller medelvärdet av $\lambda _{\varepsilon ,g}$ för varje $\varepsilon$ (se ekvation 6 ) och genom att använda variationen i eller medelvärdet över alla rutnät (se ekvation 7 ).

${\overline {\lambda _{\varepsilon ,g}}}={\frac {\sum _{\varepsilon =1}^{ \mathrm {E} }\lambda _{\varepsilon ,g}}{\mathrm {E} }}$

 

 

 

 

()

$\Lambda _{\mathit {g}}={\frac {\sum _{{\mathit {g}}=1}^{\mathit {G}}{\overline {\lambda _{\varepsilon ,g}}}}{\mathit {G}}}$

 

 

 

 

()

Förhållande till fraktaldimensionen

Lakunaritetsanalyser med användning av de typer av värden som diskuterats ovan har visat att datamängder som extraherats från täta fraktaler, från mönster som ändras lite när de roteras, eller från mönster som är homogena, har låg lakaritet, men när dessa egenskaper ökar, [förtydligande generellt gör lakaritet. I vissa fall har det visat sig att fraktala dimensioner och värden för lakaritet var korrelerade, men nyare forskning har visat att detta förhållande inte gäller för alla typer av mönster och mått på lakaritet. I själva verket, som Mandelbrot ursprungligen föreslog, har bristfällighet visat sig vara användbar för att urskilja mönster (t.ex. fraktaler, texturer, etc.) som delar eller har liknande fraktala dimensioner inom en mängd olika vetenskapliga områden inklusive neurovetenskap.

Grafisk tomhet

Andra metoder för att bedöma lacunaritet från rutorräkningsdata använder förhållandet mellan lacunaritetsvärden (t.ex. $\lambda _{\varepsilon ,g}$ ) och $\varepsilon$ på olika sätt från de som noterats ovan. En sådan metod tittar på $\ln$ vs $\ln$ för dessa värden. Enligt denna metod kan själva kurvan analyseras visuellt, eller så kan lutningen vid ${\mathit {g}}$ beräknas från $\ln$ vs $\ln$ regression linje. Eftersom de tenderar att bete sig på vissa sätt för mono-, multi- och icke-fraktala mönster, $\ln$ vs $\ln$ lacunaritetsdiagram använts för att komplettera metoder för att klassificera sådana mönster.

För att göra plotten för denna typ av analys måste data från boxräkning först transformeras som i ekvation 9 :

$f\lambda _{\varepsilon ,g}=\lambda _{\varepsilon ,g}+1$

 

 

 

 

()

Denna transformation undviker odefinierade värden, vilket är viktigt eftersom homogena bilder kommer att ha $\sigma$ vid någon $\varepsilon$ lika med 0 så att lutningen för $\ln$ vs ${\ displaystyle \ln }$ regressionslinje skulle vara omöjlig att hitta. Med $f\lambda _{\varepsilon ,g}$ , har homogena bilder en lutning på 0, vilket intuitivt motsvarar idén om ingen rotations- eller translationsinvarians och inga luckor.

En rutorräkningsteknik som använder en "glidande" ruta beräknar lakaritet enligt:

${\mathcal {L}}(r)={\frac {\sum _{i=1}^{r^{2}}S_{i}^{2}Q(S_{i},r )}{\left(\sum _{i=1}^{r^{2}}S_{i}Q(S_{i},r)\right)^{2}}}.$

 

 

 

 

()

$S_{i}$ är antalet fyllda datapunkter i rutan och $Q(S_{i},r)$ den normaliserade frekvensfördelningen av ${\ displaystyle S_{i}}$ för olika boxstorlekar.

Prefactor lakaritet

Ett annat föreslaget sätt att bedöma lakaritet med hjälp av boxräkning, Prefactor -metoden, baseras på värdet som erhålls från boxräkning för fraktaldimensionen ( ${\displaystyle D_{B}} )$ . Denna statistik använder variabeln $A$ från skalningsregeln ${\displaystyle N=A\varepsilon ^{D_{B}}} ,$ där $A$ beräknas från y -intercept ( ${\mathit {y}}$ ) av ln-ln regressionslinjen för $\varepsilon$ och antingen antalet ( $N$ ) av rutor som hade några pixlar vid alla i dem eller annars $m$ vid $g$ . $A$ påverkas särskilt av bildstorleken och hur data samlas in, speciellt av den nedre gränsen för $\varepsilon$ s som används. Det slutliga måttet beräknas enligt ekvationerna 11 till 13 :

$A_{g}={\frac {1}{e^{{\mathit {y}}_{g}}}}$

 

 

 

 

()

${\overline {A}}={\frac {\sum _{g=1}^{G}A_{g}}{G}}$

 

 

 

 

()

$P\Lambda ={\frac {\sum _{g=1}^{G}{\left({\frac {A_ {g}}{\overline {A}}}-1\right)^{2}}}{G}}$

 

 

 

 

()

Ansökningar

Nedan finns en lista över några fält där bristfällighet spelar en viktig roll, tillsammans med länkar till relevant forskning som illustrerar praktiska användningar av lakaritet.

• Ekologi
• Fysik
• Arkeologi
• Medicinsk avbildning
• Urban rumslig analys
• Seismiska studier
• Tandvård
• Mat vetenskap

externa länkar

• "FracLac användarhandbok" . En onlineguide till bristfällighetsteori och analys med gratis biologisk avbildningsprogramvara med öppen källkod.