Lüroths sats

I matematik hävdar Lüroths teorem att varje fält som ligger mellan två andra fält K och K ( X ) måste genereras som en förlängning av K med ett enda element av K ( X ). Detta resultat är uppkallat efter Jacob Lüroth , som bevisade det 1876.

Påstående

Låt $K$ vara ett fält och $M$ vara ett mellanfält mellan $K$ och $K(X)$ , för vissa obestämda X . Då finns det en rationell funktion $f(X)\in K(X)$ så att $M=K(f(X) ))$ . Med andra ord, varje mellanliggande förlängning mellan $K$ och $K(X)$ är en enkel förlängning .

Bevis

Beviset för Lüroths teorem kan lätt härledas från teorin om rationella kurvor , med hjälp av det geometriska släktet . Denna metod är icke-elementär, men flera korta bevis som endast använder grunderna i fältteorin har länge varit kända. Många av dessa enkla bevis använder Gauss lemma om primitiva polynom som ett huvudsteg.