Kvasiexakt lösbarhet

En linjär differentialoperator L kallas quasi-exact-solvable ( QES ) om den har ett ändligt dimensionellt invariant delrum av funktioner $\{{\mathcal {V}}\}_{n}$ såsom att $L:\{{\mathcal {V}}\}_{n}\rightarrow \{{\mathcal {V}}\}_{n} ,$ där n är en dimension av $\{{\mathcal {V}}\}_{n}$ . Det finns två viktiga fall:

1. $\{{\mathcal {V}}\}_{n}$ är rymden av multivariata polynom av grad som inte är högre än något heltal ; och
2. $\{{\mathcal {V}}\}_{n}$ är ett delrum till ett Hilbert-rum . Ibland är det funktionella rummet $\{{\mathcal {V}}\}_{n}$ isomorft med det finita dimensionella representationsutrymmet för en Lie-algebra av första ordningens differentialoperatorer . I det här fallet kallas operatorn L en g -Lie-algebraisk Quasi-Exactly-Solvable operator. Vanligtvis kan man ange grund där L har blocktriangulär form. Om operatorn L är av andra ordningen och har formen av Schrödinger-operatorn kallas den en Quasi-Exactly-Solvable Schrödinger-operator.

De mest studerade fallen är endimensionella $sl(2)$ - Lie-algebraiska kvasi-exakt-lösbara (Schrödinger) operatorer. Det mest kända exemplet är den sextiska QES anharmoniska oscillatorn med Hamiltonian

$\{{\mathcal {H}}\}=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+a^{2}x^{6}+ 2abx^{4}+[b^{2}-(4n+3+2p)a]x^{2},\ a\geq 0\ ,\ n\in \mathbb {N} \ ,\ p=\ {0,1\},$

där ( n+1 ) egentillstånd av positiv (negativ) paritet kan hittas algebraiskt . Deras egenfunktioner är av formen

$\Psi (x)\ =\ x^{p}P_{n}(x^{2 })e^{-{\frac {ax^{4}}{4}}-{\frac {bx^{2}}{2}}}\ ,$

där $P_{n}(x^{2})$ är ett polynom av grad n och (energier) egenvärden är rötter till en algebraisk gradsekvation ( n+1 ). I allmänhet är tolv familjer av endimensionella QES-problem kända, två av dem kännetecknade av elliptiska potentialer.

•   Turbiner, AV; Ushveridze, AG (1987). "Spektrala singulariteter och quasi-exakt lösbara kvantala problem". Fysik Bokstäver A . Elsevier BV. 126 (3): 181–183. Bibcode : 1987PhLA..126..181T . doi : 10.1016/0375-9601(87)90456-7 . ISSN 0375-9601 .
•    Turbiner, AV (1988). "Kvasi-exakt lösbara problem och $sl(2,R)$ algebra". Kommunikationer i matematisk fysik . Springer Science and Business Media LLC. 118 (3): 467–474. doi : 10.1007/bf01466727 . ISSN 0010-3616 . S2CID 121442012 .
• González-López, Artemio; Kamran, Niky; Olver, Peter J. (1994), "Quasi-exact solvability", Lie algebras, cohomology, and new applications to quantum mechanics (Springfield, MO, 1992) , Contemp. Math., vol. 160, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 113–140
•   Turbiner, AV (1996), "Quasi-exact-solvable differential equations", i Ibragimov, NH (red.), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations , vol. 3, Boca Raton, Fl.: CRC Press, s. 329–364, ISBN 978-0849394195
•    Ushveridze, Alexander G. (1994), Quasi-exact solvable models in quantum mechanics , Bristol: Institute of Physics Publishing, ISBN 0-7503-0266-6 , MR 1329549

externa länkar

• Olver, Peter, A Quasi-Exactly Solvable Travel Guide (PDF)