Kuramoto modell

Kuramoto -modellen (eller Kuramoto-Daido-modellen ), först föreslagen av Yoshiki Kuramoto ( 蔵本由紀 , Kuramoto Yoshiki ) , är en matematisk modell som används för att beskriva synkronisering . Mer specifikt är det en modell för beteendet hos en stor uppsättning kopplade oscillatorer . Dess formulering motiverades av beteendet hos system av kemiska och biologiska oscillatorer, och den har funnit utbredda tillämpningar inom områden som neurovetenskap och oscillerande flamdynamik. Kuramoto blev ganska förvånad när beteendet hos vissa fysiska system, nämligen kopplade arrayer av Josephson-korsningar , följde hans modell.

Modellen gör flera antaganden, inklusive att det finns svag koppling, att oscillatorerna är identiska eller nästan identiska och att interaktioner beror sinusformigt på fasskillnaden mellan varje par av objekt.

Definition

Faslåsning i Kuramoto-modellen

I den mest populära versionen av Kuramoto-modellen anses var och en av oscillatorerna ha sin egen inre naturliga frekvens ${\displaystyle \omega _{i}} ,$ och var och en är kopplad lika till alla andra oscillatorer. Överraskande nog kan denna helt olinjära modell lösas exakt inom gränsen för oändliga oscillatorer, N → ∞; alternativt kan man genom att använda självkonsistensargument erhålla stationära lösningar av ordningsparametern.

Den mest populära formen av modellen har följande styrande ekvationer:

{\frac {d\theta _{i}}{dt}} =\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N

,

där systemet är sammansatt av N gränscykeloscillatorer, med faserna $\theta _{i}$ och kopplingskonstanten K .

Brus kan läggas till systemet. I så fall ändras den ursprungliga ekvationen till

{\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\zeta _{i}+{\dfrac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i} )

,

där $\zeta _{i}$ är fluktuationen och en funktion av tiden. Om vi anser att bruset är vitt brus, då

\langle \zeta _{i}(t)\rangle =0

,

\langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (tt')

med $D$ som anger styrkan av brus.

Omvandling

Transformationen som gör att denna modell kan lösas exakt (åtminstone i N → ∞-gränsen) är som följer:

Definiera "order" parametrarna r och ψ as

re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e ^{i\theta _{j}}

.

Här representerar r faskoherensen för populationen av oscillatorer och ψ indikerar medelfasen . Att multiplicera denna ekvation med $e^{-i\theta _{i}}$ och endast betrakta den imaginära delen ger

{\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+Kr\sin( \psi -\theta _{i})

.

Således är oscillatorernas ekvationer inte längre explicit kopplade; istället styr ordningsparametrarna beteendet. En ytterligare transformation görs vanligtvis till en roterande ram där det statistiska medelvärdet av faser över alla oscillatorer är noll (dvs ${\displaystyle \psi =0} )$ . Slutligen blir den styrande ekvationen

{\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-Kr\sin(\theta _{i})

.

Stor N -gräns

Betrakta nu fallet eftersom N tenderar till oändligheten. Ta fördelningen av inre naturliga frekvenser som g ( ω ) (antaget normaliserad ). Antag sedan att oscillatorernas täthet vid en given fas θ , med given egenfrekvens ω , vid tidpunkten t är $\rho (\theta ,\omega ,t)$ . Normalisering kräver det

\int _{-\pi }^{\pi }\rho (\theta ,\omega ,t)\,d\theta = 1.

Kontinuitetsekvationen för oscillatordensitet kommer att vara

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho v]=0,

där v är drifthastigheten för oscillatorerna som ges genom att ta den oändliga N- gränsen i den transformerade styrande ekvationen, så att

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\ partiell }{\partial \theta }}[\rho \omega +\rho Kr\sin(\psi -\theta )]=0.

Slutligen måste vi skriva om definitionen av ordningsparametrarna för kontinuumgränsen (oändlig N ) . $\theta _{i}$ måste ersättas med dess ensemblemedelvärde (överallt $\omega$ ) och summan måste ersättas med en integral, för att ge

re^{i\psi }=\int _{-\pi }^{\pi}e^{i\theta }\int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta, \omega ,t)g(\omega )\,d\omega \,d\theta .

Lösningar

Det inkoherenta tillståndet med alla oscillatorer som driver slumpmässigt motsvarar lösningen $\rho =1/(2\pi )$ . I så fall $r=0$ , och det finns ingen koherens mellan oscillatorerna. De är likformigt fördelade över alla möjliga faser, och populationen är i ett statistiskt stabilt tillstånd (även om individuella oscillatorer fortsätter att ändra fas i enlighet med deras inneboende ω ).

När kopplingen K är tillräckligt stark är en helt synkroniserad lösning möjlig. I det helt synkroniserade tillståndet delar alla oscillatorerna en gemensam frekvens, även om deras faser kan vara olika.

En lösning för fallet med partiell synkronisering ger ett tillstånd där endast vissa oscillatorer (de nära ensemblens medelnaturfrekvens) synkroniserar; andra oscillatorer driver osammanhängande. Matematiskt har staten

\rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin \left({\frac {\omega }{Kr}}\ eller hur)

för låsta oscillatorer, och

\rho ={\frac {\rm {normalisering \;konstant}}{(\omega -Kr\sin(\theta -\psi ))}}

för drivande oscillatorer. Cutoff inträffar när $|\omega |<Kr$ .

Anslutning till Hamiltonian-system

Den dissipativa Kuramoto-modellen finns i vissa konservativa Hamiltonska system med Hamiltonian av formen

{\mathcal {H}}(q_{1},\ldots ,q_{N},p_ {1},\ldots ,p_{N})=\summa _{i=1}^{N}{\frac {\omega _{i}}{2}}(q_{i}^{2}+ p_{i}^{2})+{\frac {K}{4N}}\sum _{i,j=1}^{N}(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{ i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i}^{2}-p_{i}^{2})

Efter en kanonisk transformation till handlingsvinkelvariabler med åtgärder $I_{i}=\left(q_{i}^{2}+p_{i}^ {2}\right)/2$ och vinklar (faser) $\phi _{i}=\mathrm {arctan} \left(q_{ i}/p_{i}\right)$ , exakt Kuramoto-dynamik uppstår på invarianta grenrör av konstant $I_{i}\equiv I$ . Med den förvandlade Hamiltonian

{\mathcal {H'}}(I_{1},\ldots I_{N},\phi _{1}\ldots ,\phi _{N} )=\summa _{i=1}^{N}\omega _{i}I_{i}-{\frac {K}{N}}\summa _{i=1}^{N}\summa _ {j=1}^{N}{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin(\phi _{j}-\phi _{i} ),

Hamiltons rörelseekvation blivit

{\frac { dI_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial \phi _{i}}}=-{\frac {2K}{N}}\ summa _{k=1}^{N}{\sqrt {I_{k}I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\cos(\phi _{k}-\phi _{ i})

och

{\frac {d\phi _{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial I_{i}}}=\omega _{i }+{\frac {K}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[2{\sqrt {I_{i}I_{k}}}\sin(\phi _{k }-\phi _{i})\right.\left.+{\sqrt {I_{k}/I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\sin(\phi _{k }-\phi _{i})\right].

Så grenröret med $I_{j}=I$ är invariant eftersom ${\frac {dI_{i}}{dt}}=0$ och fasdynamiken ${\frac {d\phi _{i}}{dt}}$ blir dynamiken i Kuramoto-modellen (med samma kopplingskonstanter för $I=1 /2$ ). Klassen av Hamilton-system kännetecknar vissa kvantklassiska system inklusive Bose-Einstein-kondensat .

Variationer av modellerna

Distinkta synkroniseringsmönster i en tvådimensionell array av Kuramoto-liknande oscillatorer med olika fasinteraktionsfunktioner och rumsliga kopplingstopologier. (A) Tapphjul. (B) Vågor. (C) Chimärer. (D) Chimärer och vågor kombinerade. Färgskala indikerar oscillatorfas.

Det finns ett antal typer av varianter som kan tillämpas på den ursprungliga modellen som presenteras ovan. Vissa modeller ändras till topologisk struktur, andra tillåter heterogena vikter och andra förändringar är mer relaterade till modeller som är inspirerade av Kuramoto-modellen men som inte har samma funktionella form.

Variationer av nätverkstopologi

Förutom den ursprungliga modellen, som har en allt-till-alla-topologi, är en tillräckligt tät komplex nätverksliknande topologi mottaglig för medelfältsbehandlingen som används i lösningen av den ursprungliga modellen (se Transformation och Large N - gräns ovan för mer info ). Nätverkstopologier såsom ringar och kopplade populationer stödjer chimärtillstånd. Man kan också fråga efter beteendet hos modeller där det finns i sig lokala, som endimensionella topologier där kedjan och ringen är prototypiska exempel. I sådana topologier, där kopplingen inte är skalbar enligt 1/ N , är det inte möjligt att tillämpa den kanoniska medelfältsmetoden, så man måste förlita sig på analys från fall till fall och använda symmetrier närhelst det är möjligt , vilket kan ge underlag för abstraktion av allmänna principer för lösningar.

Enhetlig synkronisering, vågor och spiraler kan lätt observeras i tvådimensionella Kuramoto-nätverk med diffusiv lokal koppling. Vågstabiliteten i dessa modeller kan bestämmas analytiskt med metoderna för Turing stabilitetsanalys. Enhetlig synkronisering tenderar att vara stabil när den lokala kopplingen överallt är positiv medan vågor uppstår när långdistansanslutningarna är negativa (hämmande surroundkoppling). Vågor och synkroni är sammankopplade av en topologiskt distinkt gren av lösningar som kallas rippel. Dessa är rumsligt periodiska avvikelser med låg amplitud som uppstår från det enhetliga tillståndet (eller vågtillståndet) via en Hopf-bifurkation . Förekomsten av krusningslösningar förutspåddes (men observerades inte) av Wiley, Strogatz och Girvan , som kallade dem multi-vridna q-tillstånd.

Topologin på vilken Kuramoto-modellen studeras kan göras adaptiv genom att använda en fitnessmodell som visar förbättring av synkronisering och perkolering på ett självorganiserat sätt.

Variationer av nätverkstopologi och nätverksvikter: från fordonskoordination till hjärnsynkronisering

Metronomer , initialt ur fas, synkroniseras genom små rörelser av basen på vilken de är placerade. Detta system har visat sig vara likvärdigt med Kuramoto-modellen.

Vissa verk inom kontrollgemenskapen har fokuserat på Kuramoto-modellen på nätverk och med heterogena vikter (dvs. sammankopplingsstyrkan mellan två valfria oscillatorer kan vara godtycklig). Dynamiken i denna modell lyder som följer:

{\frac {d\theta _{i}}{dt} }=\omega _{i}+\summa _{j=1}^{N}a_{ij}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N

där $a_{ij}$ är ett positivt reellt tal som inte är noll om oscillator $j$ är ansluten till oscillator $i$ . En sådan modell möjliggör en mer realistisk studie av t.ex. flockning, skolgång och fordonskoordination. I arbetet från Dörfler och kollegor ger flera teorem rigorösa förutsättningar för fas- och frekvenssynkronisering av denna modell. Ytterligare studier, motiverade av experimentella observationer inom neurovetenskap, fokuserar på att härleda analytiska villkor för klustersynkronisering av heterogena Kuramoto-oscillatorer på godtyckliga nätverkstopologier. Eftersom Kuramoto-modellen verkar spela en nyckelroll för att bedöma synkroniseringsfenomen i hjärnan, kan teoretiska förhållanden som stödjer empiriska fynd bana väg för en djupare förståelse av neuronala synkroniseringsfenomen.

Variationer av fasinteraktionsfunktionen

Kuramoto approximerade fasinteraktionen mellan två valfria oscillatorer med dess första Fourier-komponent, nämligen $\Gamma (\phi )=\sin(\phi )$ , där $\phi =\theta _{j}-\theta _{i}$ . Bättre uppskattningar kan erhållas genom att inkludera Fourier-komponenter av högre ordning,

\Gamma (\phi )=\sin(\phi )+a_{1}\sin(2\phi +b_{1})+... +a_{n}\sin(2n\phi +b_{n})

,

där parametrarna $a_{i}$ och $b_{i}$ måste uppskattas. Till exempel kan synkronisering mellan ett nätverk av svagt kopplade Hodgkin-Huxley-neuroner replikeras med hjälp av kopplade oscillatorer som behåller de fyra första Fourier-komponenterna i interaktionsfunktionen. Införandet av högre ordningens fasinteraktionstermer kan också inducera intressanta dynamiska fenomen som delvis synkroniserade tillstånd, heterokliniska cykler och kaotisk dynamik .

Tillgänglighet

pyclustering- biblioteket inkluderar en Python- och C++-implementering av Kuramoto-modellen och dess modifieringar. Biblioteket består också av oscillerande nätverk (för klusteranalys, mönsterigenkänning, graffärgning, bildsegmentering) som är baserade på Kuramoto-modellen och fasoscillatorn.

Se även