Master stabilitetsfunktion

Inom matematik är huvudstabilitetsfunktionen ett verktyg som används för att analysera stabiliteten i det synkrona tillståndet i ett dynamiskt system som består av många identiska oscillatorer som är sammankopplade, såsom Kuramoto-modellen .

Inställningen är som följer. Betrakta ett system med $N$ identiska oscillatorer. Utan kopplingen utvecklas de enligt samma differentialekvation , säg ${\dot {x}}_{i}=f(x_{i})$ där ${ \displaystyle x_{i}}$ anger tillståndet för oscillator $i$ . Ett synkront tillstånd för oscillatorsystemet är där alla oscillatorer är i samma tillstånd.

Kopplingen definieras av en kopplingsstyrka $\sigma$ , en matris $A_{ij}$ som beskriver hur oscillatorerna är sammankopplade och en funktion $g$ för tillståndet av en enda oscillator. Att inkludera kopplingen leder till följande ekvation:

${\dot {x}}_{i}=f(x_{i})+\sigma \sum _{j=1}^{N}A_{ij}g(x_{j}).$

Det antas att radsummorna $\sum _{j}A_{ij}$ försvinner så att mångfalden av synkrona tillstånd är neutralt stabil.

Huvudstabilitetsfunktionen definieras nu som den funktion som mappar det komplexa talet $\gamma$ till den största Lyapunov-exponenten i ekvationen

${\dot {y}}=(Df+\gamma Dg)y.$

Det synkrona tillståndet för systemet med kopplade oscillatorer är stabilt om huvudstabilitetsfunktionen är negativ vid $\sigma \lambda _{k}$ där $\lambda _{k}$ sträcker sig över egenvärden för kopplingsmatrisen $A$ .

• Arenas, Alex; Díaz-Guilera, Albert; Kurths, Jurgen; Moreno, Yamir; Zhou, Changsong (2008), "Synchronization in complex networks", Physics Reports , 469 (3): 93–153, arXiv : 0805.2976 , Bibcode : 2008PhR...469...93A , doi : 10.1016/. 2008.09.002 .
• Pecora, Louis M.; Carroll, Thomas L. (1998), "Master stability functions for synchronized coupled systems", Physical Review Letters , 80 (10): 2109–2112, Bibcode : 1998PhRvL..80.2109P , doi : 10.1103/PhysRev.80v.90v .