Kryptomorfism

Inom matematiken kallas två objekt, särskilt axiomsystem eller semantik för dem, kryptomorfa om de är likvärdiga men inte uppenbart likvärdiga. I synnerhet är två definitioner eller axiomatiseringar av samma objekt "kryptomorfa" om det inte är uppenbart att de definierar samma objekt. Exempel på kryptomorfa definitioner finns i överflöd i matroidteorin och andra kan hittas på andra ställen, t.ex. i gruppteorin definitionen av en grupp genom en enda operation av division, vilket inte uppenbarligen är likvärdigt med de vanliga tre "operationerna" av identitetselement, invers, och multiplikation.

Detta ord är en lek med de många morfismerna i matematik, men "kryptomorfism" är bara mycket avlägset besläktat med " isomorfism ", " homomorfism " eller "morfismer". Ekvivalensen kan i en kryptomorfism, om den inte är en faktisk identitet, vara informell eller kan vara formaliserad i termer av en bijektion eller ekvivalens av kategorier mellan de matematiska objekt som definieras av de två kryptomorfa axiomsystemen.

Etymologi

Ordet myntades av Garrett Birkhoff före 1967, för användning i den tredje upplagan av hans bok Lattice Theory . Birkhoff gav det inte en formell definition, även om andra som arbetar inom området har gjort några försök sedan dess.

Använd i matroidteori

Dess informella betydelse populariserades (och utökades kraftigt i omfattning) av Gian-Carlo Rota inom ramen för matroideorin : det finns dussintals likvärdiga axiomatiska tillvägagångssätt till matroider, men två olika system av axiom ser ofta väldigt olika ut.

I sin bok från 1997 Indiscrete Thoughts beskriver Rota situationen på följande sätt:

Liksom många andra bra idéer uppfanns matroidteorin av en av de stora amerikanska pionjärerna, Hassler Whitney . Hans artikel, som fortfarande idag är det bästa inlägget till ämnet, avslöjar flagrant den unika egenheten i detta område, nämligen den exceptionella variationen av kryptomorfa definitioner för en matroid, pinsamt orelaterade till varandra och uppvisar helt olika matematiska stamtavlor. Det är som om man skulle kondensera alla trender inom dagens matematik till en enda finit struktur, en bedrift som vem som helst a priori skulle anse vara omöjlig, om det inte vore för det faktum att matroider existerar.

Även om det finns många kryptomorfa begrepp i matematik utanför matroidteorin och universell algebra , har ordet inte slagit fast bland matematiker i allmänhet. Det är dock i ganska omfattande användning bland forskare inom matroidteori.

Se även

• Kombinatorisk klass , en motsvarighet bland kombinatoriska uppräkningsproblem som antyder förekomsten av en kryptomorfism

• Birkhoff, G.: Lattice Theory , 3:e upplagan. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXV. 1967.
• Crapo, H. och Rota, G.-C.: Om grunderna för kombinatorisk teori: kombinatoriska geometrier. MIT Press, Cambridge, Mass. 1970.
• Elkins, James: Chapter Cryptomorphs in Why Are Our Pictures Puzzles?: On the Modern Origins of Pictorial Complexity , 1999
• Rota, G.-C.: Indiscrete Thoughts , Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. 1997.
• White, N., redaktör: Theory of Matroids , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 26. Cambridge University Press, Cambridge. 1986.