Kritisk dimension

För den minsta detaljstorleken i fotolitografi, se Fotolitografi .

I renormaliseringsgruppsanalysen av fasövergångar i fysiken är en kritisk dimension dimensionaliteten av rymden vid vilken fasövergångens karaktär förändras. Under den nedre kritiska dimensionen finns ingen fasövergång. Ovanför den övre kritiska dimensionen blir teorins kritiska exponenter desamma som i medelfältsteorin . Ett elegant kriterium för att erhålla den kritiska dimensionen inom medelfältsteori beror på V. Ginzburg .

Eftersom renormaliseringsgruppen sätter upp en relation mellan en fasövergång och en kvantfältteori , har detta implikationer för den senare och för vår större förståelse av renormalisering i allmänhet. Ovanför den övre kritiska dimensionen är kvantfältsteorin som hör till modellen för fasövergången en frifältsteori . Under den nedre kritiska dimensionen finns ingen fältteori som motsvarar modellen.

I strängteorinsammanhang är innebörden mer begränsad: den kritiska dimensionen är den dimension vid vilken strängteorin är konsekvent under antagande av en konstant dilatonsbakgrund utan ytterligare förvirrande permutationer från bakgrundsstrålningseffekter. Det exakta antalet kan bestämmas av den erforderliga annulleringen av konform anomali på världsarket ; det är 26 för den bosoniska strängteorin och 10 för supersträngteorin .

Övre kritisk dimension i fältteori

Att bestämma den övre kritiska dimensionen av en fältteori är en fråga om linjär algebra . Det är värt besväret att formalisera proceduren eftersom den ger den lägsta ordningens approximation för skalning och väsentlig input för renormaliseringsgruppen . Det avslöjar också förutsättningar att ha en kritisk modell i första hand.

Exponenterna för monomialerna för en kritisk lagrangian definierar ett hyperplan i ett exponentrum. Den övre kritiska dimensionen kan avläsas vid $E_{1}$ -axeln..

En lagrangian kan skrivas som en summa av termer, som var och en består av en integral över en monomial av koordinater $x_{i}$ och fält $\phi _{i}$ . Exempel är standard $\phi ^{4}$ -modellen och den isotropiska Lifshitz trikritiska punkten med Lagrangians

$\displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\ vänster(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},$

$\displaystyle S_{LTP}=\int d^{d}x\left\{ {\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{ 6}\right\},$

se även bilden till höger. Denna enkla struktur kan vara kompatibel med en skalinvarians under en omskalning av koordinaterna och fälten med en faktor $b$ enl.

$\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[ \phi _{i}\right]}.$

Tiden pekas inte ut här - det är bara en annan koordinat: om Lagrangian innehåller en tidsvariabel ska denna variabel skalas om till $t\rightarrow tb^{-z}$ med någon konstant exponent $z=-[t]$ . Målet är att bestämma exponentmängden $N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}$ .

En exponent, säg $[x_{1}]$ , kan väljas godtyckligt, till exempel $[x_{1}]=-1$ . I dimensionsanalysens språk betyder detta att exponenterna $N$ räknar vågvektorfaktorer (en reciprok längd ${\displaystyle k=1/L_{1}} )$ . Varje monom i Lagrangian leder alltså till en homogen linjär ekvation $\sum E_{i,j}N_{j}=0$ för exponenterna $N$ . Om det finns $M$ (olikvärdiga) koordinater och fält i Lagrangian, så utgör $M$ sådana ekvationer en kvadratisk matris. Om denna matris vore inverterbar skulle det bara finnas den triviala lösningen $N=0$ .

Villkoret $\det(E_{i,j})=0$ för en icke-trivial lösning ger en ekvation mellan utrymmesdimensionerna, och detta bestämmer den övre kritiska dimensionen $d_{u}$ (förutsatt att det bara finns en variabel dimension $d$ i lagrangian). En omdefiniering av koordinaterna och fälten visar nu att bestämning av skalningsexponenterna $N$ är ekvivalent med en dimensionsanalys med avseende på vågvektorn ${\displaystyle k} ,$ med alla kopplingskonstanter som förekommer i Lagrangian gjort dimensionslösa. Dimensionslösa kopplingskonstanter är det tekniska kännetecknet för den övre kritiska dimensionen.

Naiv skalning på lagrangisk nivå motsvarar inte direkt fysisk skalning eftersom en cutoff krävs för att ge en mening åt fältteorin och vägintegralen . Genom att ändra längdskalan ändras också antalet frihetsgrader. Denna komplikation beaktas av renormaliseringsgruppen . Huvudresultatet vid den övre kritiska dimensionen är att skalinvarians förblir giltig för stora faktorer $b$ , men med ytterligare $ln(b)$ faktorer i skalningen av koordinaterna och fälten.

Vad som händer under eller över $d_{u}$ beror på om man är intresserad av långa avstånd ( statistisk fältteori ) eller korta avstånd ( kvantfältteori ). Kvantfältsteorier är triviala (konvergenta) under $d_{u}$ och inte renormaliserbara över $d_{u}$ . Statistiska fältteorier är triviala (konvergenta) över $d_{u}$ och renormaliserbara under $d_{u}$ . I det senare fallet uppstår "anomala" bidrag till de naiva skalningsexponenterna $N$ . Dessa anomala bidrag till de effektiva kritiska exponenterna försvinner vid den övre kritiska dimensionen.

Det är lärorikt att se hur skalinvariansen vid den övre kritiska dimensionen blir en skalinvarians under denna dimension. För små externa vågvektorer vertexfunktionerna $\Gamma$ ytterligare exponenter, till exempel $\Gamma _{2}(k)\thicksim k^ {2-\eta (d)}$ . Om dessa exponenter infogas i en matris $A(d)$ (som bara har värden i den första kolumnen) blir villkoret för skalinvarians $\ det(E+A(d))=0$ . Denna ekvation kan endast uppfyllas om de anomala exponenterna för vertexfunktionerna samverkar på något sätt. Faktum är att vertexfunktionerna är hierarkiskt beroende av varandra. Ett sätt att uttrycka detta ömsesidiga beroende är Dyson-Schwingers ekvationer.

Naiv skalning vid $d_{u}$ är därför viktig som approximation av nollordningen. Naiv skalning vid den övre kritiska dimensionen klassificerar också termer av Lagrangian som relevanta, irrelevanta eller marginella. En Lagrangian är kompatibel med skalning om $x_{i}$ - och $\phi _{i}$ -exponenterna $E_{i,j}$ ligger på ett hyperplan, för exempel se figuren ovan. $N$ är en normalvektor för detta hyperplan.

Lägre kritisk dimension

Den lägre kritiska dimensionen $d_{L}$ för en fasövergång av en given universalitetsklass är den sista dimensionen för vilken denna fasövergång inte sker om dimensionen ökas med $d= 1$ .

Termodynamisk stabilitet för en ordnad fas beror på entropi och energi. Kvantitativt beror detta på typen av domänväggar och deras fluktuationslägen. Det verkar inte finnas något generiskt formellt sätt att härleda den lägre kritiska dimensionen av en fältteori. Nedre gränser kan härledas med statistiska mekaniska argument.

Betrakta först ett endimensionellt system med korta avståndsinteraktioner. Att skapa en domänvägg kräver en fast energimängd $\epsilon$ . Att extrahera denna energi från andra frihetsgrader minskar entropin med $\Delta S=-\epsilon /T$ . Denna entropiförändring måste jämföras med entropin för själva domänväggen. I ett system med längd $L$ finns $L/a$ -positioner för domänväggen, vilket leder (enligt Boltzmanns princip ) till en entropiförstärkning $\Delta S=k_{B}\log(L/a)$ . För temperaturer som inte är noll $T$ och $L$ som är tillräckligt stora dominerar alltid entropiförstärkningen, och därför finns det ingen fasövergång i endimensionella system med kortdistansinteraktioner vid $T>0$ . Space dimension $d_{1}=1$ är alltså en nedre gräns för den nedre kritiska dimensionen av sådana system.

En starkare nedre gräns $d_{L}=2$ kan härledas med hjälp av liknande argument för system med korta avståndsinteraktioner och en ordningsparameter med kontinuerlig symmetri. I detta fall Mermin–Wagner-satsen att ordningsparameterns förväntade värde försvinner i $d=2$ vid $T>0$ , och det finns alltså ingen fasövergång av den vanliga typen vid $d_{L}=2$ och lägre.

För system med släckt störning kan ett kriterium som ges av Imry och Ma vara relevant. Dessa författare använde kriteriet för att bestämma den lägre kritiska dimensionen av slumpfältsmagneter.

externa länkar

• Kanon: Ett gratis Windows-program för att fastställa den kritiska dimensionen, med exempel, onlinehjälp och matematiska detaljer