Kreins tillstånd

I matematisk analys ger Kreins tillstånd ett nödvändigt och tillräckligt villkor för exponentiella summor

$\left\{\sum _{k=1}^{n}a_{k} \exp(i\lambda _{k}x),\quad a_{k}\in \mathbb {C} ,\,\lambda _{k}\geq 0\right\},$

att vara tät i ett viktat L ₂ utrymme på den verkliga linjen. Den upptäcktes av Mark Kerin på 1940-talet. En följd, även kallad Kreins tillstånd, ger ett tillräckligt villkor för ögonblicksproblemets obestämbarhet .

Påstående

Låt μ vara ett absolut kontinuerligt mått på den reella linjen, d μ ( x ) = f ( x ) d x . De exponentiella summorna

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}\exp(i\lambda _ {k}x),\quad a_{k}\in \mathbb {C} ,\,\lambda _{k}\geq 0$

är täta i L ₂ ( μ ) om och endast om

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx=\infty .$

Problemet med ögonblickets obestämdhet

Låt μ vara som ovan; anta att alla ögonblick

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d \mu (x),\quad n=0,1,2,\ldots$

av μ är ändliga. Om

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+ x^{2}}}\,dx<\infty$

gäller, då är hamburgermomentproblemet för μ obestämt; det vill säga, det finns ett annat mått ν ≠ μ på R så att

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\ ,d\nu (x),\quad n=0,1,2,\ldots$

Detta kan härledas från "endast om"-delen av Kreins sats ovan.

Exempel

Låta

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp \left\{-\ln ^{2}x\right\};$

måttet d μ ( x ) = f ( x ) d x kallas Stieltjes–Wigert-måttet . Eftersom

$\int _{-}\infty ^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\ln ^{ 2}x+\ln {\sqrt {\pi }}}{1+x^{2}}}\,dx<\infty ,$

Hamburgermomentproblemet för μ är obestämt.