Koszul kohomologi

Inom matematik är Koszul-kohomologigrupperna K p $displaystyle K_{p,q}(X,L)}$ grupper associerade till en projektiv varietet X med en linjebunt L . De introducerades av Mark Green ( 1984 , 1984b ) och uppkallade efter Jean-Louis Koszul eftersom de är nära besläktade med Koszul-komplexet .

Green (1989) kartlägger tidigt arbete med Koszul-kohomologi, Eisenbud (2005) ger en introduktion till Koszul-kohomologi och Aprodu & Nagel (2010) ger en mer avancerad undersökning.

Definitioner

Om M är en graderad modul över den symmetriska algebra för ett vektorrum V , så är Koszul-kohomologin $displaystyle K_{p,q}(M,V)}$ \ för M kohomologin för M sekvensen

$\bigwedge ^{p+1}M_{q-1}\högerpil \bigwedge ^{p}M_{q }\rightarrow \bigwedge ^{p-1}M_{q+1}$

Om L är en linjebunt över en projektiv variant X , så ges Koszul-kohomologin ${\displaystyle K_{p,q}(X,L)} av Koszul-kohomologin$$K_{p,q}(M,V)$ för den graderade modulen $M=\bigoplus _{q}H^{0}( L^{q})$ , sett som en modul över den symmetriska algebra för vektorrummet $V=H^{0}(L)$ .

•    Aprodu, Marian; Nagel, Jan (2010), Koszul kohomologi och algebraisk geometri , University Lecture Series, vol. 52, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4964-4 , MR 2573635
•    Eisenbud, David (2005), The geometry of syzygies , Graduate Texts in Mathematics, vol. 229, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b137572 , ISBN 978-0-387-22215-8 , MR 2103875
•    Green, Mark L. (1984), "Koszul cohomology and the geometry of projective varieties" , Journal of Differential Geometry , 19 (1): 125–171, ISSN 0022-040X , MR 0739785
•    Green, Mark L. (1984), "Koszul cohomology and the geometri of projective varieties. II" , Journal of Differential Geometry , 20 (1): 279–289, ISSN 0022-040X , MR 0772134
•    Green, Mark L. (1989), "Koszul cohomology and geometri", i Cornalba, Maurizio; Gómez-Mont, X.; Verjovsky, A. (red.), Lectures on Riemann-ytor , Proceedings of the First College on Riemann-ytor som hölls i Trieste, 9 november–18 december 1987, World Sci. Publ., Teaneck, NJ, s. 177–200, ISBN 9789971509026 , MR 1082354