Konjugerade diametrar

I geometri sägs två diametrar av en konisk sektion vara konjugerade om varje korda parallellt med en diameter är delad av den andra diametern. Till exempel är två diametrar av en cirkel konjugerade om och endast om de är vinkelräta .

Av ellips

Två konjugerade diametrar av en ellips . Varje kant på det gränsande parallellogrammet är parallell med en av diametrarna.

För en ellips är två diametrar konjugerade om och endast om tangentlinjen till ellipsen vid en ändpunkt av en diameter är parallell med den andra diametern. Varje par av konjugerade diametrar av en ellips har ett motsvarande tangentparallellogram gränsrektangel , ibland kallat ett gränsande parallellogram (skev jämfört med en ) . I sitt manuskript De motu corporum in gyrum , och i ' Principia ', citerar Isaac Newton som ett lemma bevisat av tidigare författare att alla (avgränsande) parallellogram för en given ellips har samma area .

Det är möjligt att rekonstruera en ellips från vilket par av konjugatdiametrar som helst eller från vilket gränsande parallellogram som helst. Till exempel, i proposition 14 i bok VIII i hans samling , ger Pappus av Alexandria en metod för att konstruera axlarna för en ellips från ett givet par konjugatdiametrar. En annan metod är att använda Rytzs konstruktion , som drar fördel av Thales sats för att hitta riktningarna och längderna för en ellipss stora och mindre axlar oavsett dess rotation eller skjuvning .

Av hyperbel

För varje φ är de angivna diametrarna för cirklarna och hyperbolerna konjugerade.

I likhet med det elliptiska fallet är diametrarna på en hyperbel konjugerade när var och en delar alla ackord parallellt med den andra. I detta fall är både hyperbeln och dess konjugat källor för ackord och diametrar.

I fallet med en rektangulär hyperbel är dess konjugat reflektionen över en asymptot . En diameter av en hyperbel är konjugerad till dess reflektion i asymptoten, som är en diameter av den andra hyperbeln. Eftersom vinkelräthet är förhållandet mellan konjugerade diametrar i en cirkel, så hyperbolisk ortogonalitet förhållandet mellan konjugerade diametrar för rektangulära hyperboler.

Placeringen av dragstänger som förstärker en kvadratisk sammansättning av balkar styrs av förhållandet mellan konjugatdiametrar i en bok om analytisk geometri .

Konjugerade diametrar av hyperboler är också användbara för att ange relativitetsprincipen i den moderna fysiken i rymdtiden . Relativitetsbegreppet introduceras först i ett plan som består av en enda dimension i rymden , den andra dimensionen är tid . I ett sådant plan en hyperbel händelser ett konstant rymdliknande intervall från ursprungshändelsen, den andra hyperbeln motsvarar händelser ett konstant tidsliknande intervall från den. Relativitetsprincipen kan formuleras "Varje par av konjugerade diametrar av konjugerade hyperboler kan tas för axlarna för rum och tid". Denna tolkning av relativitet uttalades av ET Whittaker 1910.

I projektiv geometri

Varje linje i projektiv geometri innehåller en punkt i oändligheten , även kallad en figurativ punkt . Ellipsen, parabeln och hyperbeln ses som käglor i projektiv geometri, och varje kägel bestämmer ett förhållande mellan pol och polar mellan punkter och linjer. Genom att använda dessa begrepp "konjugeras två diametrar när var och en är polären till den andras figurativa punkt."

Endast en av konjugatdiametrarna för en hyperbel skär kurvan.

Begreppet punkt-par-separation skiljer en ellips från en hyperbel: I ellipsen separerar varje par av konjugatdiametrar vartannat par. I en hyperbel skiljer aldrig ett par konjugatdiametrar åt ett annat sådant par.

Vidare läsning

• Chasles, Michel (1865). "Diamètres conjugués" . Traité des sections coniques, dvs fest. faisant suite au traité de géométrie supérieure (på franska). Paris: Gauthier-Villars. s. 116–23.

• WK Clifford (1878) Elements of Dynamic , sidan 90, länk från HathiTrust .

• Coxeter, HSM (1955). The Real Projective Plane (2nd ed.). Cambridge University Press . s. 130 –5.

• Lax, George (1900). En avhandling om koniska sektioner . London: Longmans, Green & Co. sid. 165 .

externa länkar

• "Konjugerade diametrar i ellips" . cut-the-knot.org .
• Besant, WH (1895). "Egenskaper för konjugatdiametrar". Koniska sektioner behandlade geometriskt . Historiska matematiska monografier. London; Ithaca, NY: G. Bell; Cornell University . sid. 109.