Konjugat (kvadratrötter)

Den här artikeln handlar om konjugering genom att ändra tecknet för en kvadratrot. För annan användning, se Conjugate (disambiguation) .

I matematik är konjugatet av ett uttryck $ab{\sqrt {d}},$ formen $a+b{\sqrt {d}}$ a förutsatt att ${\sqrt {d}}$ visas inte i a och b . Man säger också att de två uttrycken är konjugerade.

I synnerhet är de två lösningarna av en andragradsekvation konjugerade enligt $\pm$ i kvadratformeln $x={\frac {- b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ .

Komplex konjugation är specialfallet där kvadratroten är $i={\sqrt {-1}}.$

Egenskaper

Som

$(a+b{\sqrt {d}})(ab{\sqrt {d}})=a^{2} -db^{2}$

och

$(a+b{\sqrt {d}})+(ab{\sqrt {d}})=2a,$

summan och produkten av konjugerade uttryck involverar inte kvadratroten längre.

Denna egenskap används för att ta bort en kvadratrot från en nämnare genom att multiplicera täljaren och nämnaren för ett bråk med nämnarens konjugat (se Rationalisering ). Typiskt har man

${\frac {a_{1}+b_{1}{\sqrt {d}}}{a_{2}+b_{2}{\sqrt {d}}}}={\frac {(a_ {1}+b_{1}{\sqrt {d}})(a_{2}-b_{2}{\sqrt {d}})}{(a_{2}+b_{2}{\sqrt { d}})(a_{2}-b_{2}{\sqrt {d}})}}={\frac {a_{1}a_{2}-db_{1}b_{2}+(a_{ 2}b_{1}-a_{1}b_{2}){\sqrt {d}}}{a_{2}^{2}-db_{2}^{2}}}.$

Särskilt

${\frac {1}{a+b{\sqrt {d}}}}={\frac {ab{\sqrt {d}}}{a^{2}-db^{2}}} .$

En följdegenskap är att subtraktionen:

$(a+b{\sqrt {d}})-(ab{\sqrt {d}})=2b{\sqrt { d}},$

lämnar bara en term som innehåller roten.

Se även

• Konjugerat element (fältteori) , generaliseringen till rötterna av ett polynom av valfri grad