Kolmogorovs ekvationer

I sannolikhetsteorin , Kolmogorov ekvationer , inklusive Kolmogorov framåt ekvationer och Kolmogorov bakåt ekvationer , kännetecknar kontinuerliga tid Markov processer . Speciellt beskriver de hur sannolikheten för att en kontinuerlig tids Markov-process befinner sig i ett visst tillstånd förändras över tiden.

Diffusionsprocesser kontra hoppprocesser

Andrei Kolmogorov skrev 1931 och utgick från teorin om tidsdiskreta Markov-processer, som beskrivs av Chapman-Kolmogorov-ekvationen , och försökte härleda en teori om Markov-processer i kontinuerlig tid genom att utöka denna ekvation. Han fann att det finns två typer av kontinuerliga tids Markov-processer, beroende på det antagna beteendet under små tidsintervall:

Om du antar att "på ett litet tidsintervall finns det en överväldigande sannolikhet att tillståndet kommer att förbli oförändrat, men om det förändras kan förändringen vara radikal", så leds du till det som kallas hoppprocesser .

Det andra fallet leder till processer som de "representerade av diffusion och av Brownsk rörelse ; där är det säkert att någon förändring kommer att inträffa i vilket tidsintervall som helst, hur litet som helst; bara här är det säkert att förändringarna under små tidsintervall kommer att vara också liten".

För var och en av dessa två typer av processer härledde Kolmogorov ett framåt- och ett bakåtgående ekvationssystem (fyra totalt).

Historia

Ekvationerna är uppkallade efter Andrei Kolmogorov sedan de lyftes fram i hans grundarbete från 1931.

William Feller , 1949, använde namnen "framåtgående ekvation" och "bakåtekvation" för sin mer allmänna version av Kolmogorovs par, i både hopp- och diffusionsprocesser. Långt senare, 1956, hänvisade han till ekvationerna för hoppprocessen som "Kolmogorov framåtriktade ekvationer" och "Kolmogorov bakåtekvationer".

Andra författare, som Motoo Kimura , hänvisade till diffusionsekvationen (Fokker–Planck) som Kolmogorovs framåtriktade ekvation, ett namn som har bestått.

Den moderna utsikten

• I samband med en kontinuerlig Markov-process med hopp , se Kolmogorov-ekvationer (Markov-hoppprocessen) . Framför allt inom naturvetenskap kallas framåtekvationen också som masterekvation .
• I samband med en diffusionsprocess , för de bakåtriktade Kolmogorov-ekvationerna, se Kolmogorovs bakåtriktade ekvationer (diffusion) . Den framåtriktade Kolmogorov-ekvationen är också känd som Fokker-Planck-ekvationen .

Ett exempel från biologin

Ett exempel från biologi ges nedan:

$p_{n}'(t)=(n-1)\beta p_{n -1}(t)-n\beta p_{n}(t)$

Denna ekvation används för att modellera befolkningstillväxt med födseln . Där $n$ är befolkningsindex, med referens den initiala populationen, $\beta$ är födelsetalet, och slutligen ${\displaystyle p_{n}(t)=\Pr(N(t)=n)} ,$ dvs sannolikheten för att uppnå en viss populationsstorlek .

Den analytiska lösningen är:

$p_{n}(t)=(n-1)\beta e^{-n\beta t}\int _{0}^{t}\!p_{n-1}(s)\,e^{n\beta s}\mathrm {d} s$

Detta är en formel för densiteten $p_{n}(t)$ i termer av de föregående, dvs $p_{n-1}(t)$ .