Kirillov modell

Inom matematik är Kirillov -modellen , studerad av Kirillov ( 1963 ), en realisering av en representation av GL ₂ över ett lokalt fält på ett utrymme av funktioner på det lokala fältet.

Om G är den algebraiska gruppen GL ₂ och F är ett icke-arkimediskt lokalt fält, och τ är en fast icke-trivial karaktär av den additiva gruppen av F och π är en irreducerbar representation av G ( F ), då är Kirillov-modellen för π en representation π på ett rum med lokalt konstanta funktioner f på F ^* med kompakt stöd i F så att

$\pi \left({\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\right)f(x)=\tau (bx)f(ax).$

Jacquet & Langlands (1970) visade att en irreducerbar representation av dimension större än 1 har en väsentligen unik Kirillov-modell. Över ett lokalt fält har funktionsutrymmet med kompakt stöd i F ^* kodimension 0, 1 eller 2 i Kirillov-modellen, beroende på om den irreducerbara representationen är cuspidal, speciell eller principiell.

Whittaker -modellen kan konstrueras från Kirillov-modellen, genom att definiera bilden W _ξ av en vektor ξ av Kirillov-modellen med

W _ξ ( g ) = π(g)ξ(1)

där π( g ) är bilden av g i Kirillov-modellen.

Bernstein (1984) definierade Kirillov-modellen för den allmänna linjära gruppen GLn _med hjälp av den mirabola undergruppen . Mer exakt är en Kirillov-modell för en representation av den allmänna linjära gruppen en inbäddning av den i representationen av den miraboliska gruppen inducerad från en icke-degenererad karaktär av gruppen av övre triangulära matriser.

•    Bernstein, Joseph N. (1984), "P-invarianta distributioner på GL(N) and the classification of unitary representations of GL(N) (icke-Archimedean case)", Lie group representations, II (College Park, Md. , 1982/1983) , Lecture Notes in Math., vol. 1041, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 50–102, doi : 10.1007/BFb0073145 , ISBN 978-3-540-12715-4 , MR 0748505
•    Kirillov, AA (1963), "Oändliga dimensionella enhetsrepresentationer av en andra ordningens matrisgrupp med element i ett lokalt kompakt fält", Doklady Akademii Nauk SSSR , 150 : 740–743, ISSN 0002-3264 , MR 0151552
•    Jacquet, H.; Langlands, Robert P. (1970), Automorphic forms on GL(2) , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114, vol. 114, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0058988 , ISBN 978-3-540-04903-6 , MR 0401654