Cartan par

Inom de matematiska områdena Lie-teori och algebraisk topologi är begreppet Cartan-par ett tekniskt villkor för förhållandet mellan en reduktiv Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ och en subalgebra ${\mathfrak {k}}$ reduktiv i ${\mathfrak {g}}$ .

Ett reduktivt par $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})$ sägs vara Cartan om den relativa Lie-algebra-kohomologin

H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})

är isomorf till tensorprodukten av den karakteristiska subalgebra

\mathrm {im} {\big (}S({\mathfrak {k}}^{*})\to H^{* }({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}}){\big )}

och en yttre subalgebra $\bigwedge {\hat {P}}$ av ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}})} ,$ där

${\hat {P}}$ , Samelson-delrummet , är de primitiva elementen i kärnan i kompositionen $P{\overset { \tau }{\to }}S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})$ ,
$P$ är det primitiva delrummet av $H^{*}({\mathfrak {g}})$ ,
$\tau$ är överträdelsen ,
och kartan $S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})$ av symmetrisk algebras induceras av restriktionskartan för dubbla vektorrum ${\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {k}}^{*}$ .

På nivån för Lie-grupper , om G är en kompakt, ansluten Lie-grupp och K en sluten ansluten undergrupp, finns det naturfiberknippen

G\to G_{K}\to BK

,

där $G_{K}:=(EK\ gånger G)/K\simeq G/K$ är homotopikvoten , här homotopi ekvivalent med regelbunden kvot, och

G/K{\overset {\chi }{\to }}BK{\overset {r}{\to }}BG

.

Då är den karakteristiska algebra bilden av $\chi ^{*}\colon H^{*}(BK)\till H^{* }(G/K)$ , transgressionen $\tau \colon P\to H^{*}(BG)$ från det primitiva delrummet P av $H^{*}(G)$ är den som härrör från kantkartorna i Serre-spektralsekvensen för det universella paketet $G\to EG\to BG$ , och delrummet ${\hat {P}}$ av $H^{*}(G/K)$ är kärnan i $r^{* }\circ \tau$ .

Greub, Werner; Halperin, Stephen; Vanstone, Ray (1976). "10. Subalgebras §4 Kartanpar" . Kohomologi av huvudsakliga buntar och homogena utrymmen . Anslutningar, krökning och kohomologi. Vol. 3. Akademisk press. s. 431–5. ISBN 978-0-08-087927-7 .